Exercice 8, § 3

On identifie le groupe $\mathbf{R}$ et son groupe dual par l’application $(x, y)\mapsto$ exp($i\pi xy$). Soit $\alpha \in \mathbf{R}_+$.

a) Il existe une mesure positive sur $\mathbf{R}$ dont la transformée de Fourier est la fonction $f_{\alpha}(x) =$ exp($-|x|^{\alpha}$) si et seulement si $\alpha \in ]0,2]$. Lorsque c’est le cas, on note $\mu_{\alpha}$ cette mesure, qui est unique ; on dit que c’est la mesure stable de paramètre $\alpha$.

b) La mesure $\mu_{\alpha}$ est de masse totale 1 ; la fonction identique $f$ sur $\mathbf{R}$ est intégrable par rapport à $\mu_{\alpha}$ si et seulement si $\alpha = 2$.