Bài tập 8, § 3

Ta đồng nhất nhóm $\mathbf{R}$ và nhóm đối ngẫu của nó bởi ánh xạ $(x, y)\mapsto$ exp($i\pi xy$). Cho $\alpha \in \mathbf{R}_+$.

a) Tồn tại một độ đo dương trên $\mathbf{R}$ có biến đổi Fourier là hàm $f_{\alpha}(x) =$ exp($-|x|^{\alpha}$) khi và chỉ khi $\alpha \in ]0,2]$. Khi đó, độ đo này được ký hiệu là $\mu_{\alpha}$; nó là duy nhất; người ta nói rằng đó là độ đo ổn định với tham số $\alpha$.

b) Độ đo $\mu_{\alpha}$ có khối lượng toàn phần bằng 1; hàm đồng nhất $f$ trên $\mathbf{R}$ là khả tích đối với $\mu_{\alpha}$ khi và chỉ khi $\alpha = 2$.