Exercice 9, § 3

Le but de cet exercice est de présenter une autre démonstration du théorème 5 de V, p. 455. Soit G un groupe topologique localement compact commutatif, muni d’une mesure de Haar $\mu$. On note $\widehat{f}$ la transformée de Fourier de $f\in L^1$(G), et on note $\mathscr{F}(G)\subset \mathscr{C}_0(\widehat{G})$ l’image de la transformation de Fourier sur $L^1(G)$.

a) L’espace $\mathscr{F}(G)$ est un sous-espace dense de $\mathscr{C}_0(G)$.

b) Pour tout $f\in L^1$(G), le rayon spectral de $f$ dans l’algèbre de Banach $L^1(G)$ est égal à $\|\widehat{f}\|_{\infty}$.

c) Soit $\varphi \in$ Pos(G). C’est une fonction uniformément continue et bornée sur G ; pour tout $f\in L^1$(G), on a

d) Soit $\lambda$ la forme linéaire continue sur $L^1(G)$ déterminée par $\varphi$, et posons $b(f, g) =\lambda (f^**g)$ pour tout $(f, g)\in L^1(G)\times L^1(G)$. L’application $b$ est une forme hermitienne positive sur $L^1(G)$.

e) Pour tout $f\in L^1$(G), on a $|\lambda (f)|^2\leqslant b(f, f)$.

f ) Soient $f\in L^1(G)$ et $g=f^**f\in \mathscr{C}_b(G)$. On définit $g_1=g$ et $g_{n+1}=g_n*g$ pour tout entier $n\geqslant 1$. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $|\lambda (f)|\leqslant \|g_n\|^{2^{-n}}_1$.

g) Pour tout $f\in L^1$(G), on a $|\lambda (f)|\leqslant \|\widehat{f}\|_{\infty}$. Il existe une application linéaire continue $\widehat{\lambda}$ sur $\mathscr{F}(G)$ telle que $\lambda (f) =\widehat{\lambda}(\widehat{f})$ pour tout $f\in L^1(G)$. h) Il existe une mesure bornée $\nu$ sur $\widehat{G}$ telle que $\lambda (f) =\nu (\widehat{f})$ quel que soit $f\in L^1(G)$; la mesure $\nu$ est positive et on a

pour tout $x\in G$.