Bài tập 9, § 3

Mục đích của bài tập này là trình bày một chứng minh khác của Định lý 5 của V, p. 455. Cho G là một nhóm tôpô giao hoán địa phương compact, được trang bị một độ đo Haar $\mu$. Gọi $\widehat{f}$ là biến đổi Fourier của $f\in L^1$(G), và gọi $\mathscr{F}(G)\subset \mathscr{C}_0(\widehat{G})$ là ảnh của biến đổi Fourier trên $L^1(G)$.

a) Không gian $\mathscr{F}(G)$ là một không gian con trù mật của $\mathscr{C}_0(G)$.

b) Với mọi $f\in L^1$(G), bán kính phổ của $f$ trong đại số Banach $L^1(G)$ bằng $\|\widehat{f}\|_{\infty}$.

c) Cho $\varphi \in$ Pos(G). Nó là một hàm liên tục đều và bị chặn trên G; với mọi $f\in L^1$(G), ta có

d) Cho $\lambda$ là dạng tuyến tính liên tục trên $L^1(G)$ được xác định bởi $\varphi$, và đặt $b(f, g) =\lambda (f^**g)$ với mọi $(f, g)\in L^1(G)\times L^1(G)$. Ánh xạ $b$ là một dạng Hermit dương trên $L^1(G)$.

e) Với mọi $f\in L^1$(G), ta có $|\lambda (f)|^2\leqslant b(f, f)$.

f ) Cho $f\in L^1(G)$ và $g=f^**f\in \mathscr{C}_b(G)$. Định nghĩa $g_1=g$ và $g_{n+1}=g_n*g$ với mọi số nguyên $n\geqslant 1$. Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ta có $|\lambda (f)|\leqslant \|g_n\|^{2^{-n}}_1$.

g) Với mọi $f\in L^1$(G), ta có $|\lambda (f)|\leqslant \|\widehat{f}\|_{\infty}$. Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục $\widehat{\lambda}$ trên $\mathscr{F}(G)$ sao cho $\lambda (f) =\widehat{\lambda}(\widehat{f})$ với mọi $f\in L^1(G)$. h) Tồn tại một độ đo bị chặn $\nu$ trên $\widehat{G}$ sao cho $\lambda (f) =\nu (\widehat{f})$ với mọi $f\in L^1(G)$; độ đo $\nu$ là dương và ta có

với mọi $x\in G$.