Exercice 27, § 4

On reprend les notations de l’exercice précédent. On suppose que $(G,K)$ est une paire de Gelfand.

On dit que $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ est une fonction K-sphérique si l’application

est un caractère non nul de l’algèbre $\mathscr{H}(G,K)$.

a) Soit $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) La fonction $\varphi$ est une fonction K-sphérique ;

(ii) Pour tous $x$ et $y$ dans G, on a

$\int_K\varphi (xky)d\mu(k) =\varphi (x)\varphi (y)$ ;

(iii) On a $\varphi (e) = 1$ et pour toute fonction $\psi \in \mathscr{H}(G,K)$, il existe $c\in \mathbf{C}$ tel que $\psi *\varphi =c\varphi$.

b) On note $\mathscr{H}^1(G,K)$ l’espace des $f\in L^1(G)$ telles que $\boldsymbol{\varrho }_G(k_1, k_2)f=f$ pour tout $(k_1, k_2)\in K\times K$. C’est une sous-algèbre de Banach de l’algèbre de Banach involutive $L^1(G)$; elle est commutative.

c) L’algèbre $\mathscr{H}(G,K)$ s’identifie à une sous-algèbre dense de $\mathscr{H}^1(G,K)$. d) L’application qui à $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ associe la forme linéaire

sur $\mathscr{H}^1(G,K)$ définit une bijection de l’espace des fonctions K-sphériques bornées sur G sur l’espace des caractères non nuls de $\mathscr{H}^1(G,K)$. (Noter que tout caractère de $\mathscr{H}^1(G,K)$ est continu et de norme $\leqslant 1$, cf. prop. 2 de I, p. 104.)