Bài tập 27, § 4

Ta trở lại ký hiệu của bài tập trước. Giả sử rằng $(G,K)$ là một cặp Gelfand.

Ta nói rằng $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ là một hàm K-cầu nếu ánh xạ

là một đặc trưng khác không của đại số $\mathscr{H}(G,K)$.

a) Cho $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương :

(i) Hàm $\varphi$ là một hàm K-cầu ;

(ii) Với mọi $x$ và $y$ trong G, ta có

$\int_K\varphi (xky)d\mu(k) =\varphi (x)\varphi (y)$ ;

(iii) Ta có $\varphi (e) = 1$ và với mọi hàm $\psi \in \mathscr{H}(G,K)$, tồn tại $c\in \mathbf{C}$ sao cho $\psi *\varphi =c\varphi$.

b) Ký hiệu $\mathscr{H}^1(G,K)$ là không gian các $f\in L^1(G)$ sao cho $\boldsymbol{\varrho }_G(k_1, k_2)f=f$ với mọi $(k_1, k_2)\in K\times K$. Nó là một đại số Banach con của đại số Banach có đối hợp $L^1(G)$; nó giao hoán.

c) Đại số $\mathscr{H}(G,K)$ được đồng nhất với một đại số con trù mật của $\mathscr{H}^1(G,K)$. d) Ánh xạ gán cho $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ dạng tuyến tính

trên $\mathscr{H}^1(G,K)$ xác định một song ánh từ không gian các hàm K-cầu bị chặn trên G lên không gian các đặc trưng khác không của $\mathscr{H}^1(G,K)$. (Chú ý rằng mọi đặc trưng của $\mathscr{H}^1(G,K)$ đều liên tục và có chuẩn $\leqslant 1$, xem mệnh đề 2 của I, p. 104.)