Exercice 4, § 4

Soit G un groupe et soient A et B des sous-groupes de G. Soit $\varphi : A\rightarrow B$ un isomorphisme.

Soit $\boldsymbol{r}'$ une famille dans le groupe libre F(G) tel que G est isomorphe au groupe $F(G,\boldsymbol{r}')$ (A, I, p. 87, n$^o6$). On appelle extension HNN de G selon $\varphi$ le groupe $G^{\varphi}= F(X,\boldsymbol{r})$ où X est la somme des ensembles G, A, B et d’un élément $t$, et où $\boldsymbol{r}$ est la famille somme de $\boldsymbol{r}'$ et des relateurs $t^{-1}at=\varphi (a)$ pour tout $a\in A$.

On note $j: G\rightarrow G^{\varphi}$ l’unique homomorphisme tel que $j(g)$ est l’élément représenté par $g$ dans $G^{\varphi}$.

a) Soit $k\geqslant 1$ un entier et soit $(g_0, \varepsilon_1, g_1, . . . , \varepsilon_k, g_k)$ une famille finie telle que $g_i\in G$ et $\varepsilon_i\in \{-1,1\}$ pour tout $i$. Supposons qu’il n’existe pas d’entier $j$ tel que $1\leqslant j\leqslant k-1$ et

ou bien

Alors l’élément

de $G^{\varphi}$ n’est pas l’élément neutre (« Lemme de Britton ».)

b) L’homomorphisme $j$ est injectif.

c) Soient $a$ et $b$ des ensembles différents. Soit G le groupe $F(\{a, b\}, a^{-1}b^2ab^{-3})$. On note $b_1=a^{-1}ba$. Soit H un sous-groupe normal d’indice fini de G et $\pi : G\rightarrow G/H$ la projection canonique. On a $[b_1, b]\in$ Ker($\pi$ ).

d) Le groupe G n’admet pas de représentation fidèle de dimension finie. (Démontrer que G n’est pas résiduellement fini.)