Bài tập 4, § 4

Cho G là một nhóm và cho A và B là các nhóm con của G. Cho $\varphi : A\rightarrow B$ là một đẳng cấu.

Cho $\boldsymbol{r}'$ là một họ trong nhóm tự do F(G) sao cho G đẳng cấu với nhóm $F(G,\boldsymbol{r}')$ (A, I, p. 87, No. 6). Mở rộng HNN của G theo $\varphi$ được định nghĩa là nhóm $G^{\varphi}= F(X,\boldsymbol{r})$ trong đó X là tổng của các tập hợp G, A, B và của một phần tử $t$, và trong đó $\boldsymbol{r}$ là họ tổng của $\boldsymbol{r}'$ và của các hệ thức $t^{-1}at=\varphi (a)$ với mọi $a\in A$.

Ta ký hiệu bởi $j: G\rightarrow G^{\varphi}$ đồng cấu duy nhất sao cho $j(g)$ là phần tử được biểu diễn bởi $g$ trong $G^{\varphi}$.

a) Cho $k\geqslant 1$ là một số nguyên và cho $(g_0, \varepsilon_1, g_1, . . . , \varepsilon_k, g_k)$ là một họ hữu hạn sao cho $g_i\in G$ và $\varepsilon_i\in \{-1,1\}$ với mọi $i$. Giả sử rằng không tồn tại số nguyên $j$ sao cho $1\leqslant j\leqslant k-1$ và

hoặc

Khi đó phần tử

của $G^{\varphi}$ không phải là phần tử đơn vị ("Bổ đề Britton".)

b) Đồng cấu $j$ là đơn ánh.

c) Cho $a$ và $b$ là các tập hợp phân biệt. Cho G là nhóm $F(\{a, b\}, a^{-1}b^2ab^{-3})$. Đặt $b_1=a^{-1}ba$. Cho H là một nhóm con chuẩn có chỉ số hữu hạn của G và $\pi : G\rightarrow G/H$ là phép chiếu chính tắc. Ta có $[b_1, b]\in$ Ker($\pi$ ).

d) Nhóm G không có biểu diễn hữu hạn chiều trung thành. (Chứng minh rằng G không là hữu hạn nội xạ.)