Corollaire 2

Soient A et B des $k$-algèbres équivalentes au sens de Morita et soit P un $(A,B)_k$-bimodule inversible. Tout $(B,A)_k$-bimodule inverse de P est isomorphe au dual $P^*$ = Hom$_A(P,A)$de P. Plus précisément, soit Q un $(B,A)_k$-bimodule inverse de P et soit $\lambda : P\otimes_BQ\rightarrow_sA_d$ un isomorphisme de $(A,A)_k$-bimodules, il existe une unique application $\tau : Q\rightarrow P^*$ caractérisée par la relation $\langle p, \tau (q)\rangle =\lambda (p\otimes q)$pour $p\in P$et $q\in Q$, et $\tau$ est un isomorphisme de $(B,A)_k$-bimodules.

L’existence et l’unicité de l’application $\tau$ sont claires. C’est un homomorphisme de $(B,A)_k$-bimodules et l’on a$\lambda = \Lambda \circ (1_P\otimes \tau )$. Comme $\lambda$ et Λ sont des isomorphismes de $(A,A)_k$-bimodules (VIII, p. 97, th. 1), il en est de même de $1_P\otimes \tau$. D’après le lemme 1 (VIII, p. 97), l’application $\tau$ est bijective.