Corollaire 1

(i) Soit $\varphi$ une fonction intégrable sur $G$ à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$. Pour presque tout $t \in T$, la fonction $g \mapsto \varphi(gtg^{-1})$ sur $G$ est intégrable pour $dg$. La fonction $t \mapsto \delta_G(t) \int_G \varphi(gtg^{-1}) dg$ est intégrable sur $T$, et l’on a

(formule d’intégration de Hermann Weyl).

(ii) Soit $\varphi$ une fonction mesurable positive sur $G$. Pour presque tout $t \in T$, la fonction $g \mapsto \varphi(gtg^{-1})$ sur $G$ est mesurable. La fonction $t \mapsto \int_G^* \varphi(gtg^{-1}) dg$ sur $T$ est mesurable, et l’on a

Puisque l’application $f$ se déduit par passage au quotient de l’application $(g, t) \mapsto gtg^{-1}$ de $G \times T$ dans $G$, il suffit d’appliquer INT, V, § 5, 6, 8 et INT, VII, § 2.