Corollaire 2

*Soit $\varphi$ une fonction centrale sur $G$ (c’est-à-dire telle que $\varphi(gh) = \varphi(hg)$ pour tous $g$ et $h$ dans $G$) à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$. a) Pour que $\varphi$ soit mesurable, il faut et il suffit que sa restriction à $T$ soit mesurable. b) Pour que $\varphi$ soit intégrable, il faut et il suffit que la fonction $(\varphi|T)$ $\delta_G(t)$ soit intégrable sur $T$ et l’on a alors

Notons $p : G/T \times T \to T$ la seconde projection. On a $\varphi \circ f = (\varphi|T) \circ p$; par ailleurs, l’image par $p$ de la mesure $\mu \otimes \frac{1}{w(G)} \delta_G dt$ est $\frac{1}{w(G)} \delta_G dt$. Le corollaire résulte alors du th. 1 ci-dessus et du th. 1 de INT, V, § 6, n° 2, appliqués aux deux applications propres $f$ et $p$.