Corollaire 3

*Soient $H$ un sous-groupe fermé connexe de $G$ contenant $T$, $h$ son algèbre de Lie, et $dh$ la mesure de Haar sur $H$ de masse totale 1. Soit $\varphi$ une fonction centrale intégrable sur $G$, à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$. Alors la fonction $h \mapsto \varphi(h) \det(\mathrm{Ad}_{g/h}(h) - 1)$ est intégrable et centrale sur $H$ et l’on a :

En effet, la fonction $h \mapsto \varphi(h) \det(\mathrm{Ad}_{g/h}(h) - 1)$ est une fonction centrale sur $H$, dont la restriction à $T$ est la fonction $t \mapsto \varphi(t) \delta_G(t) \delta_H(t)^{-1}$. Le corollaire résulte donc du cor. 2 appliqué à $G$ et à $H$.