Corollaire 2

Étiquette 0E91, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E91].

Lie Groups and Lie Algebras, chapter IX, § 7. Représentations irréductibles des groupes de Lie compacts connexes

Pour tout $\lambda \in X_{++}$ et tout élément régulier $t$ de $T$ , on a

\chi_\lambda(t) = \frac{\sum_w \varepsilon(w) \lambda(wt) \rho(wt)}{\sum_w \varepsilon(w) \rho(wt)}

où les deux sommations sont étendues aux éléments $w$ de $W$ .

En effet, $J(\rho)(t)$ n'est pas nul, puisque $t$ est régulier (formule (4)).

Si $\varphi$ est une fonction centrale sur $G$ , la restriction de $\varphi$ à $T$ est invariante par $W$ , donc $J(\rho) \cdot \varphi|T$ est anti-invariante par $W$ . Par ailleurs, d'après TS et le th. 1, la famille $(\chi_\lambda)_{\lambda \in X^+}$ est une base algébrique de l’espace des fonctions représentatives centrales sur G et une base orthonormale de l’espace $\mathrm{ZL}^2(G)$ des classes de fonctions centrales de carré intégrable sur G.

On déduit donc de la prop. 3 et du th. 2 :

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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