Corollaire 4

Étiquette 0E93, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E93].

Lie Groups and Lie Algebras, chapter IX, § 7. Représentations irréductibles des groupes de Lie compacts connexes

Soit $\varphi$ une fonction continue centrale sur G. On a

\int_G \overline{\chi_\lambda(g)}\ \varphi(g)\ dg = \int_T \overline{\lambda(t)} \prod_{\alpha > 0} (1 - \alpha(t)^{-1})\ \varphi(t)\ dt = \int_T \overline{\lambda\rho(t)}.\varphi(t)\ J(\rho)\ (t)\ dt .

En effet, d’après le lemme 4 et le th. 2, on a

\int_G \overline{\chi_\lambda(g)}\ \varphi(g)\ dg = \frac{1}{w(G)} \int_T \overline{\chi_\lambda(t)\ J(\rho)\ (t)}\ (\varphi(t)\ J(\rho)\ (t))\ dt

= \frac{1}{w(G)} \int_T \overline{J(\lambda\rho)\ (t)}\ \varphi(t)\ J(\rho)\ (t)\ dt .

Mais la fonction $t \mapsto \varphi(t)\ J(\rho)\ (t)$ est anti-invariante et $\frac{1}{w(G)}\ J(\lambda\rho)$ est la projection orthogonale de $\lambda\rho$ sur le sous-espace des éléments anti-invariants de $L^2(T)$ , donc

\frac{1}{w(G)} \int_T \overline{J(\lambda\rho)\ (t)}\ \varphi(t)\ J(\rho)\ (t)\ dt = \int_T \overline{\lambda\rho(t)}\ \varphi(t)\ J(\rho)\ (t)\ dt ;

enfin, d’après la formule (3), on a $\overline{\rho(t)}\ J(\rho)\ (t) = \prod_{\alpha > 0} (1 - \alpha(t)^{-1})$ , d’où le corollaire.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

Cité par

Rien.

Cite

Rien.