Bài tập 18, § 2

(a) Cho $A$ là một vành và $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$ là hai tập hợp tôpô hóa (Bài tập 16) của các iđêan trái của $A$. Gọi $\mathscr{G}$. là tập hợp các iđêan trái $I$ của $A$ sao cho tồn tại một iđêan trái $n \in \mathscr{G}$ thỏa mãn $n/I$ là $\mathscr{G}$-không đáng kể. Chứng minh rằng $\mathscr{G}$. là tôpô hóa; đối với một $A$-môđun $M$, để là $\mathscr{F}$.$\mathscr{G}$-không đáng kể, điều kiện cần và đủ là tồn tại một môđun con $\mathscr{F}$-không đáng kể $M'$ của $M$ sao cho $M/M'$ là $\mathscr{G}$-không đáng kể. Chứng minh rằng luật hợp thành $(\mathscr{F}, \mathscr{G}) \mapsto \mathscr{G}$. trên tập hợp các tập hợp tôpô hóa của các iđêan trái của $A$ là kết hợp.

$\mathscr{F}$ được gọi là lũy đẳng nếu $\mathscr{G}$. $\mathscr{G}$.

(b) Chứng minh rằng $\mathscr{G} \mathscr{G}$ chứa tất cả các iđêan có dạng $m.n$ trong đó $m \in \mathscr{F}$ và $n \in \mathscr{G}$.

(c) Cho $K$ là một trường giao hoán và $B$ là vành các đa thức với các hệ số trong $K$ trong một hệ vô hạn các phần tử bất định $(X_i)$ ($i \geq 0$). Gọi $b$ là iđêan của $B$ sinh bởi các phần tử $X_i X_j$ ($i \neq j$); gọi $A$ là vành $B/b$, $\xi_i$ là lớp mod. $b$ của $X_i$ và $m$ là iđêan của $A$ sinh bởi các $\xi_i$; lấy $\mathscr{F}$ là tập hợp các iđêan chứa một lũy thừa của $m$. Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là tôpô hóa và chứa tích của bất kỳ hai iđêan nào của $\mathscr{F}$ nhưng không lũy đẳng.

(d) Giả sử rằng $A$ là giao hoán và $\mathscr{F}$ là một tập hợp tôpô hóa các iđêan của $A$ sao cho mỗi iđêan $m \in \mathscr{F}$ chứa một iđêan sinh hữu hạn $n \in \mathscr{G}$. Chứng minh rằng, nếu tích của hai iđêan của $\mathscr{F}$ thuộc về $\mathscr{F}$, thì $\mathscr{F}$ là lũy đẳng.