Exercice 18, § 2

a) Soient A un anneau, $\mathscr{F}$ et $\mathscr{G}$ deux ensembles topologisants (exerc. 16) d’idéaux à gauche de A. On note $\mathscr{F}. \mathscr{G}$ l’ensemble des idéaux à gauche I de A pour lesquels il existe un idéal à gauche $n \in \mathscr{G}$ tel que $n/I$ soit $\mathscr{F}$-négligeable. Montrer que $\mathscr{F}. \mathscr{G}$ est topologisant ; pour qu’un A-module M soit $\mathscr{F}. \mathscr{G}$-négligeable, il faut et il suffit qu’il existe un sous-module $\mathscr{F}$-négligeable $M'$ de M tel que $M/M'$ soit $\mathscr{G}$-négligeable. Montrer que la loi de composition $(\mathscr{F}, \mathscr{G}) \to \mathscr{F}. \mathscr{G}$ dans l’ensemble des ensembles topologisants d’idéaux à gauche de A est associative.

On dit que $\mathscr{F}$ est idempotent si $\mathscr{F}. \mathscr{F} = \mathscr{F}$.

b) Montrer que $\mathscr{F}. \mathscr{G}$ contient tous les idéaux de la forme $m.n$, où $m \in \mathscr{F}$ et $n \in \mathscr{G}$.

c) Soient K un corps commutatif, B l’anneau des polynômes à coefficients dans K par rapport à un système infini d’indéterminées $(X_i)$ (i \geqslant 0). Soit $b$ l’idéal de $B$ engendré par les éléments $X_i X_j$ ($i \neq j$); soient $A$ l’anneau $B/b$, $\xi_i$ la classe mod. $b$ de $X_i$, $m$ l’idéal de $A$ engendré par les $\xi_i$; on prend pour $\mathscr{F}$ l’ensemble des idéaux contenant une puissance de $m$. Montrer que $\mathscr{F}$ est topologisant et contient le produit de deux idéaux quelconques de $\mathscr{F}$, mais n’est pas idempotent.

d) On suppose que $A$ est commutatif et $\mathscr{F}$ un ensemble topologisant d’idéaux de $A$ tel que tout idéal $m \in \mathscr{F}$ contienne un idéal $n \in \mathscr{F}$ de type fini. Montrer que, si le produit de deux idéaux de $\mathscr{F}$ appartient à $\mathscr{F}$, $\mathscr{F}$ est idempotent.