Bài tập 19, § 2

Cho $\mathscr{F}$ là một tập hợp các iđêan trái của một vành $A$; giả sử rằng $\mathscr{F}$ là tôpô hóa và lũy đẳng (các Bài tập 16 và 18).

(a) Chứng minh rằng, nếu $m \in \mathscr{F}$, $n \in \mathscr{F}$ và $u \in \mathrm{Hom}_A(n, A_s)$, thì $\overline{u}^1(m) \in \mathscr{F}$ (xét dãy khớp $0 \to n/\overline{u}^1(m) \to A_s/\overline{u}^1(m) \to A_s/n \to 0$). Với mọi $A$-môđun $M$ và mọi $v \in \mathrm{Hom}_A(m, M)$, ký hiệu $u.v$ là ảnh chính tắc trong $M_{(\mathscr{F})}$ (Bài tập 17 (c)) của đồng cấu hợp thành $\overline{u}^1(m) \xrightarrow{u} m \xrightarrow{v} M$. Chứng minh rằng ánh xạ $(u, v) \mapsto u.v$ là $\mathbf{Z}$-song tuyến tính; tương ứng với nó là một ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{Z}$

Các ánh xạ này lập thành một hệ trực tiếp và giới hạn trực tiếp của chúng do đó tương ứng một cách chính tắc với một ánh xạ $\mathbf{Z}$-song tuyến tính

Chứng minh rằng, nếu $M = A_0$, thì $\psi$ là một luật hợp thành trong làm cho $A_{(\mathscr{F})}$ thành một vành và ánh xạ chính tắc $A \to A_{(\mathscr{F})}$ là một đồng cấu vành đối với cấu trúc này. Với mọi $A$-môđun trái $M$, $\psi$ là một phép toán ngoài xác định trên $M_{(\mathscr{F})}$ một cấu trúc $A_{(\mathscr{F})}$-môđun trái; với cấu trúc này (và ánh xạ chính tắc $A \to A_{(\mathscr{F})}$), ánh xạ chính tắc $M \to M_{(\mathscr{F})}$ là một đồng cấu $A$-môđun.

(b) Nếu $i : M \to M_{(\mathscr{F})}$ là đồng cấu chính tắc, chứng minh rằng

và rằng $A$-môđun $\operatorname{Coker}\,(i) = M_{(\mathscr{F})}/i(M)$ là 9-không đáng kể.

(c) Với mọi $A$-môđun trái $M$, ký hiệu $M_{\mathscr{F}}$ là $A$-môđun trái $(M/\mathscr{F}M)_{(\mathscr{F})}$ và $j_M$ là ánh xạ chính tắc hợp thành

khi đó $\operatorname{Ker}(j_M) = \mathscr{F}M$ và $A$-môđun $\operatorname{Coker}(j_M) = M_{\mathscr{F}}/j_M(M)$ là $\mathscr{F}$-không đáng kể.

Cho $u : P \to M$, $h : P \to Q$ là các đồng cấu $A$-môđun sao cho $\operatorname{Ker}(h)$ và $\operatorname{Coker}(h)$ là $\mathscr{F}$-không đáng kể; chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu $A$-môđun $v : Q \to M_{\mathscr{F}}$ làm cho biểu đồ sau giao hoán

(Trước hết rút gọn về trường hợp $h$ là đơn ánh; sau đó, đồng nhất $P$ với một môđun con của $Q$, chú ý rằng, với $x \in Q$, tồn tại $m \in \mathscr{F}$ sao cho $mx \in P$ và ánh xạ $x$ vào ảnh chính tắc trong $M_{\mathscr{F}}$ của đồng cấu hợp thành

(d) Với mọi đồng cấu A-môđun $u : M \to N$ hãy chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất $u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ làm cho biểu đồ sau giao hoán

(sử dụng (a), (b) và (c)). Chứng minh rằng, nếu

là một dãy khớp của các A-môđun, thì dãy

là khớp (chú ý rằng ánh xạ $M/\mathscr{F}M \to N/\mathscr{F}N$ dẫn xuất từ $u$ bằng cách lấy các thương là đơn ánh).

Chứng minh rằng các ánh xạ $j_{M_{\mathscr{F}}}$ và $(j_M)_{\mathscr{F}}$ trùng nhau và là các đẳng cấu (và do đó $\mathscr{F}M_{\mathscr{F}} = 0$). Nếu $N'$ là một môđun con-A của $M_{\mathscr{F}}$, $(j_{M_{\mathscr{F}}}^{-1}(N'))_{\mathscr{F}}$ được đồng nhất một cách chính tắc với $N'_{\mathscr{F}}$ (chú ý rằng, nếu ta viết $N = j_M(N')$, thì $N'/j_M(N)$ là 9-không đáng kể).

(e) Cho M là một A-môđun trái và $\phi : A \times M \to M$ là ánh xạ song tuyến tính theo Z $(a, m) \mapsto am$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ song tuyến tính theo Z duy nhất $\phi_{\mathscr{F}} : A_{\mathscr{F}} \times M_{\mathscr{F}} \to M_{\mathscr{F}}$ làm cho biểu đồ sau giao hoán

Ta cũng định nghĩa trên $A_{\mathscr{F}}$ một cấu trúc vành và trên $M_{\mathscr{F}}$ một cấu trúc A-môđun trái $A_{\mathscr{F}}$. Nếu $u : M \to N$ là một đồng cấu A-môđun, thì $u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ là một đồng cấu $A_{\mathscr{F}}$-môđun. Để ánh xạ $u \mapsto u_{\mathscr{F}}$ từ $\mathrm{Hom}_A(M, N)$ đến $\mathrm{Hom}_{A_{\mathscr{F}}}(M_{\mathscr{F}}, N_{\mathscr{F}})$ là song ánh đối với mọi A-môđun M, điều kiện cần và đủ là $j_N$ là song ánh.

(f) Lấy A là vành đa thức $K[X, Y]$ trên một trường giao hoán K và $\mathscr{F}$ là tập hợp (tôpô hóa và lũy đẳng) các iđêan của A chứa một lũy thừa của iđêan $m = (X) + (Y)$. Nếu $M = A/AX$ và $u : A \to M$ là ánh xạ chính tắc, hãy chứng minh rằng $u_{\mathscr{F}} : A_{\mathscr{F}} \to M_{\mathscr{F}}$ không toàn ánh. (Chứng minh rằng $A_{\mathscr{F}}$ được đồng nhất với A và $M_{\mathscr{F}}$ với $K[\overline{Y}, 1/\overline{Y}]$, trong đó $\overline{Y}$ là lớp của Y trong M, sao cho $X\overline{Y} = 0$ và $X(1/\overline{Y}) = 0$.)

(g) Nếu đặt $\mathscr{F}^1M = M_{\mathscr{F}}/j_M(M)$, hãy chứng minh rằng, đối với mọi dãy khớp $0 \to M \to N \to P \to 0$ của các A-môđun, có một dãy khớp

(sử dụng biểu đồ rắn).

(h) Cho $\mathscr{F}'$ là tập hợp các iđêan trái $l'$ của $A_{\mathscr{F}}$ sao cho $(A_{\mathscr{F}})_s/l'$ là một A-môđun $\mathscr{F}$-không đáng kể: chứng minh rằng $\mathscr{F}'$ là tập hợp các iđêan trái của $A_{\mathscr{F}}$ chứa các $j_A(m)$, trong đó $m \in \mathscr{F}$ (nhận xét rằng $m_{\mathscr{F}} = A_{\mathscr{F}}$ với mọi $m \in \mathscr{F}$, sử dụng dãy khớp của (d); do đó $A_{\mathscr{F}}/j_A(m)$ là 9-không đáng kể). Với mọi $A_{\mathscr{F}}$-môđun $M'$, $\mathscr{F}M' = \mathscr{F}'M'$ ($M'$ được xem như một A-môđun nhờ $j_A$), $\mathscr{F}'$ là tôpô hóa và lũy đẳng, và $M'_{\mathscr{F}'}$ được đồng nhất một cách chính tắc với $M'_{\mathscr{F}}$.