Exercice 19, § 2

Soit $\mathscr{F}$ un ensemble d’idéaux à gauche d’un anneau $A$; on suppose $\mathscr{F}$ topologisant et idempotent (exerc. 16 et 18).

a) Montrer que, si $m \in \mathscr{F}$, $n \in \mathscr{F}$ et $u \in \mathrm{Hom}_A(n, A_s)$, alors $u^{-1}(m) \in \mathscr{F}$ (considérer la suite exacte $0 \to n/u(m) \to A_s/u(m) \to A_s/n \to 0$). Pour tout $A$-module $M$ et tout $v \in \mathrm{Hom}_A(m, M)$, on désigne par $u.v$ l’image canonique dans $M_{(\mathscr{F})}$ (exerc. _17 c)) de l’homomorphisme composé $u(m) \xrightarrow{u} m \xrightarrow{v} M$. Montrer que l’application $(u, v) \to u.v$ est $\mathbf{Z}$-bilinéaire; il lui correspond une application $\mathbf{Z}$-linéaire

Ces applications forment un système inductif, et leur limite inductive correspond donc canoniquement à une application $\mathbf{Z}$-bilinéaire

Montrer que, si $M = A_s$, $\psi$ est une loi de composition interne qui fait de $A_{(\mathscr{F})}$ un anneau, et l’application canonique $A \to A_{(\mathscr{F})}$ est un homomorphisme d’anneaux pour cette structure. Pour un $A$-module à gauche $M$ quelconque, $\psi$ est une loi externe définissant sur $M_{(\mathscr{F})}$ une structure de $A_{(\mathscr{F})}$-module à gauche; pour cette structure (et pour l’application canonique $A \to A_{(\mathscr{F})}$) l’application canonique $M \to M_{(\mathscr{F})}$ est un homomorphisme de $A$-modules.

b) Si $i : M \to M_{(\mathscr{F})}$ est l’homomorphisme canonique, montrer que $\mathrm{Ker}\,(i) = \mathscr{F}M$ et que le $A$-module $\mathrm{Coker}\,(i) = M_{(\mathscr{F})}/i(M)$ est $\mathscr{F}$-négligeable.

c) Pour tout $A$-module à gauche $M$, on désigne par $M_{\mathscr{F}}$ le $A$-module à gauche $(M/\mathscr{F}M)_{(\mathscr{F})}$, par $j_M$ l’application canonique composée

on a $\mathrm{Ker}\,(j_M) = \mathscr{F}M$ et le $A$-module $\mathrm{Coker}\,(j_M) = M_{\mathscr{F}}/j_M(M)$ est $\mathscr{F}$-négligeable.

Soient $u : P \to M$, $h : P \to Q$ des homomorphismes de $A$-modules, tels que $\mathrm{Ker}\,(h)$ et $\mathrm{Coker}\,(h)$ soient $\mathscr{F}$-négligeables; montrer qu’il existe un $A$-homomorphisme $v : Q \to M_{\mathscr{F}}$ et un seul rendant commutatif le diagramme

(Se ramener d’abord au cas où h est injectif ; identifiant alors P à un sous-module de Q, remarquer que, pour tout x ∈ Q, il existe m ∈ F tel que mx ⊂ P, et faire correspondre à x l’image canonique dans M_F de l’homomorphisme composé m ↦ x ↦ mx → P ↦ u → M → M/FM).

d) Pour tout homomorphisme u : M → N de A-modules, montrer qu’il existe un unique homomorphisme u_F : M_F → N_F rendant commutatif le diagramme

(utiliser a), b) et c)). Montrer que, si

est une suite exacte de A-modules, la suite

est exacte (remarquer que l’application M/FM → N/FN déduite de u par passage aux quotients est injective).

Montrer que les applications j_{M_F} et (j_M)_F coïncident et sont des isomorphismes (et par suite F M_F = 0). Si N’ est un sous-A-module de M_F, (j_M^{-1}(N'))_F s’identifie canoniquement à N'_F (observer que, si on pose N = j_M^{-1}(N'), N'/j_M(N) est F-négligeable).

e) Soient M un A-module à gauche, φ : A × M → M l’application Z-bilinéaire (a, m) → am. Montrer qu’il existe une application Z-bilinéaire et une seule φ_F : A_F × M_F → M_F rendant commutatif le diagramme

On définit ainsi sur A_F une structure d’anneau et sur M_F une structure de A_F-module à gauche. Si u : M → N est un homomorphisme de A-modules, u_F : M_F → N_F est un homomorphisme de A_F-modules. Afin que, pour tout A-module M, l’application u → u_F de Hom_A(M, N) dans Hom_{A_F}(M_F, N_F) soit bijective, il faut et il suffit que j_N soit bijective.

f) On prend pour A l’anneau de polynômes K[X, Y] sur un corps commutatif K, pour F l’ensemble (topologisant et idempotent) des idéaux de A contenant une puissance de l’idéal m = (X) + (Y). Si M = A/AX, et si u : A → M est l’application canonique, montrer que u_F : A_F → M_F n’est pas surjective. (Montrer que A_F s’identifie à A, et M_F à K[\overline{Y}, 1/\overline{Y}], où \overline{Y} est la classe de Y dans M, de sorte que X\overline{Y} = 0 et X(1/\overline{Y}) = 0).

g) Si l’on pose $\mathscr{F}^1 M = M_{\mathscr{F}} / j_M(M)$, montrer que, pour toute suite exacte $0 \to M \to N \to P \to 0$ de A-modules, on a une suite exacte $0 \to \mathscr{F}M \to \mathscr{F}N \to \mathscr{F}P \to \mathscr{F}^1M \to \mathscr{F}^1N \to \mathscr{F}^1P$ (utiliser le diagramme du serpent).

h) Soit $\mathscr{F}'$ l’ensemble des idéaux à gauche $I'$ de $A_{\mathscr{F}}$ tels que $(A_{\mathscr{F}})_{s}/I'$ soit un A-module $\mathscr{F}'$-négligeable : montrer que $\mathscr{F}'$ est l’ensemble des idéaux à gauche de $A_{\mathscr{F}}$ contenant les $j_A(m)$, où $m \in \mathscr{F}$ (observer que $m_{\mathscr{F}} = A_{\mathscr{F}}$ pour tout $m \in \mathscr{F}$, en utilisant la suite exacte de d) ; par suite $A_{\mathscr{F}}/j_A(m)$ est $\mathscr{F}$-négligeable). Pour tout $A_{\mathscr{F}}$-module $M'$, on a $\mathscr{F}M' = \mathscr{F}'M'$ ($M'$ étant considéré comme A-module au moyen de $j_A$), $\mathscr{F}'$ est topologisant et idempotent, et $M'_{\mathscr{F}'}$ s’identifie canoniquement à $M'_{\mathscr{F}}$.