Bài tập 23, § 2

(a) Cho A là một vành Noether trái không có ước của 0. Hãy chứng minh rằng A có một trường các phân thức trái (dùng Bài tập 14 (a) để chứng minh rằng điều kiện $(\beta_1)$ của Bài tập 22 (b) được thỏa mãn với $S = A - \{0\}$).

(b) Cho $A$ là một vành Noether trái và phải không có ước của 0. Hãy chứng minh rằng mọi A-môđun trái $M$ sinh hữu hạn, mà mỗi phần tử $\neq 0$ của nó là tự do, là một môđun con của một A-môđun tự do. (Nhúng $M$ một cách chính tắc vào $K \otimes_A M$, trong đó $K$ là trường các phân thức (trái hoặc phải) của $A$ được xem như một A-môđun phải; nếu $(x_i)$ là một cơ sở của không gian vectơ trái $K$- $K \otimes_A M$, hãy chứng minh rằng tồn tại $a \neq 0$ trong $A$ sao cho $M$ được chứa trong môđun con-$A$ của $K \otimes_A M$ sinh bởi các $a^{-1} x_i$.)

\textbf{¶24.} Cho $A$ là một vành, giao hoán hoặc không, và $\mathscr{F}$ là tập hợp các iđêan trái 1 của $A$ sao cho $l \cap m \neq 0$ đối với \emph{mọi} iđêan trái $m \neq 0$ của $A$.

Để $l \in \mathscr{F}$, điều kiện cần và đủ là, đối với mọi phần tử $a \neq 0$ của $A$, tồn tại $b \in A$ sao cho $ba \neq 0$ và $ba \in l$. Mọi iđêan $l$ của $\mathscr{F}$ đều chứa \emph{đế trái} của $A$ (\emph{Đại số}, Chương VIII, § 5, Bài tập 9) và, nếu $A$ là Artin, $\mathscr{F}$ gồm các iđêan chứa đế trái của $A$.

(a) Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là một tập hợp tôpô hóa (Bài tập 16). Suy ra rằng tập hợp $a$ của các $a \in A$ sao cho $la = 0$ với một $l \in \mathscr{F}$ nào đó (hợp của các linh hóa tử phải của các $l \in \mathscr{F}$) là một iđêan hai phía của $A$, không chứa phần tử lũy đẳng nào. Nếu $A$ là Noether trái, hãy chứng minh rằng $a$ là lũy linh (trước hết chứng minh rằng mọi phần tử $a \in a$ đều lũy linh, bằng cách xét các linh hóa tử trái của các $a^n$; sau đó dùng Bài tập 26 (b) của \emph{Đại số}, Chương VIII, § 6).

Cho $K$ là một trường giao hoán và $B$ là vành các đa thức với các hệ số trong $K$ theo các bất định $Y$ và $X_i$, ($i \geq 1$). Gọi $b$ là iđêan của $B$ sinh bởi các $X_i X_j$ ($i \# j$) và các $Y^{l-1} X_i$ và gọi $A$ là vành thương $B/b$; chứng minh rằng trong $A$, iđêan $a$ được định nghĩa ở trên chứa lớp của $Y$, lớp này không lũy linh.

(b) Chứng minh rằng, với mọi iđêan trái $m$ của $A$, tồn tại một iđêan trái $n$ của $A$ sao cho $m \cap n = 0$ và $m + n \in \mathscr{O}$ (Lấy $n$ là một iđêan cực đại trong các iđêan trái $l$ thỏa mãn $m \cap l = 0$).

(c) Một vành $A$ được gọi là (trái) \emph{gọn} nếu iđêan hai phía $a$ được định nghĩa ở (a) được rút gọn về $0$. Nếu vậy, tập hợp $\mathscr{F}$ là lũy đẳng (cho $l, m, n$ là các iđêan trái của $A$ sao cho $n \in \mathscr{F}$, $l \subset n$, $n/l$ là F-không đáng kể, và $m \neq 0$. Nếu $x \neq 0$ thuộc $m \cap n$, thì tồn tại $r \in \mathscr{F}$ sao cho $r.x \subset l \cap m$).

\textbf{¶25.} Với ký hiệu của Bài tập 24, giả sử rằng $A$ là một vành gọn trái.

(a) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $j_1 : A \to A_{\mathscr{F}}$ là đơn ánh, cho phép đồng nhất $A$ với một nhóm con của $A_{\mathscr{F}}$. Gọi $\mathscr{F}'$ là tập hợp các iđêan trái $l'$ của $A_{\mathscr{F}}$ sao cho $l'_{\mathscr{F}} = A_{\mathscr{F}}$; chứng minh rằng $\mathscr{F}'$ là tập hợp các iđêan trái $l'$ của $A_{\mathscr{F}}$ sao cho $l' \cap m' \neq 0$ với mọi iđêan trái $m' \# 0$ của $A_{\mathscr{F}}$. (Trước hết, chứng minh rằng, với mọi iđêan trái $m' \neq 0$ của $A_{\mathscr{F}}$, $A \cap m' \neq 0$; mặt khác, chú ý rằng các iđêan $l' \in \mathscr{F}'$ chính xác là các iđêan trái của $A_{\mathscr{F}}$ chứa một iđêan $m \in \mathscr{F}$.) Chứng minh rằng vành $A_{\mathscr{F}}$ là gọn trái.

(b) Chỉ ra rằng $A_{\mathscr{F}}$ là một $A$-môđun \emph{đơn ánh}, nghĩa là (\emph{Đại số}, Chương II, §2, Bài tập 11) rằng, với mọi iđêan trái $l$ của $A$ và mọi

tồn tại $a' \in A_{\mathscr{F}}$ sao cho $u(x) = xa'$ với mọi $x \in 1$. (Dùng Bài tập 24 (b) và Bài tập 19 (c).) Suy ra rằng mọi tự đồng cấu của $A$-môđun $A_{\mathscr{F}}$ đều có dạng $u : x \mapsto xa'$ trong đó $a' \in A_{\mathscr{F}}$ (chú ý rằng $\operatorname{Hom}_A(A, A_{\mathscr{F}}) = \operatorname{Hom}_{A_{\mathscr{F}}}(A_{\mathscr{F}}, A_{\mathscr{F}})$ theo Bài tập 19 (e)); đồng thời $\operatorname{Ker}(u) = (\operatorname{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$.

(c) Chỉ ra rằng, với mọi iđêan trái $1$ của $A$, $1_{\mathscr{F}}$ là một nhân tử trực tiếp của $A_{\mathscr{F}}$. (Gọi $m$ là một iđêan trái của $A$ sao cho $m \cap 1 = 0$ và $m + 1 \in \mathscr{F}$; mở rộng phép chiếu của $m + 1$ lên $m$, bằng không trên $1$, thành một tự đồng cấu $p$ của $A_{\mathscr{F}}$; chỉ ra rằng $p^2 = p$ và rằng $\operatorname{Ker}(p) = 19$.)

(d) Chỉ ra rằng $A_{\mathscr{F}}$ là một vành phẳng tuyệt đối (Chương I, § 2, Bài tập 17). (Rút gọn về trường hợp $A = A_{\mathscr{F}}$. Nếu $u$ là tự đồng cấu $x \mapsto xa$ của $A$-môđun trái $A_s$, thì $\operatorname{Ker}(u) = (\operatorname{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$, và do đó $\operatorname{Ker}(u)$ có một iđêan bù $m$ trong $A$.; chú ý rằng $\operatorname{Im}(u)$ đẳng cấu với $m$, do đó đơn ánh (\emph{Đại số}, Chương II, § 2, Bài tập 11) và vì vậy là một nhân tử trực tiếp của $A$, (loc. cit.). Cuối cùng, dùng Bài tập 13 của \emph{Đại số}, Chương 11, § 1.)

¶26. (a) Chỉ ra rằng mọi vành Zorn $A$ (\emph{Đại số}, Chương VIII, § 6, Bài tập 13) không có iđêan nil $\neq 0$ đều là Noether trái; đặc biệt, mọi vành phẳng tuyệt đối và mọi vành nguyên thủy có đế không thu gọn về $0$ đều là một vành Noether trái.

(b) Cho $A$ là một vành nguyên thủy trái có đế không thu gọn về $0$; chỉ ra rằng, nếu $A$ được biểu diễn như một vành con trù mật của một vành các tự đồng cấu $\operatorname{End}_D(V)$ của một không gian vectơ (\emph{Đại số}, Chương VIII, § 5, Bài tập 10), thì vành $A_{\mathscr{F}}$ tương ứng với $A$ (Bài tập 25) là đẳng cấu với $\operatorname{End}_D(V)$.

(c) Chỉ ra rằng mọi vành gần đơn $A$ (\emph{Algebra}, Chương VIII, § 5, Bài tập 5) đều là Noether trái và phải và rằng vành tương ứng $A_{\mathscr{F}}$ là gần đơn. Suy ra rằng, với mọi vành $B$ không thu gọn về $0$, tồn tại một đồng cấu $\phi : B \to R$ đến một vành $R$ là gần đơn, phẳng tuyệt đối và sao cho $R_s$ là một R-môđun đơn ánh.

(d) Cho $A$ là một vành Noether trái không có iđêan lũy linh. Chỉ ra rằng $A$ là Noether trái và rằng vành tương ứng $A_{\mathscr{F}}$ là một vành nửa đơn ("Định lý Goldie"; dùng Bài tập 24 (a) và, mặt khác, dùng \emph{Algebra}, Chương VIII, § 2, Bài tập 7, chú ý rằng trong vành phẳng tuyệt đối $A_{\mathscr{F}}$ không thể tồn tại một họ các phần tử lũy đẳng trực giao từng đôi một, trừ khi A chứa một tổng trực tiếp vô hạn của các iđêan trái $\neq 0$). Chỉ ra rằng, nếu $s \in A$ không phải là một ước phải của 0 trong $A$, thì nó khả nghịch trong $A_{\mathscr{F}}$ và ngược lại; tập hợp $S$ của các phần tử này là một tập con nhân của $A$. Chỉ ra rằng $\mathscr{F}$ là tập hợp các iđêan trái của $A$ giao với $S$ (để thấy rằng các iđêan của $A$ giao với $S$ thuộc về $\mathscr{F}$, chú ý rằng các phần tử của $S$ không phải là các ước trái của 0 trong $A$; để thấy rằng mọi $f \in \mathscr{F}$ chứa một phần tử của $S$, biểu diễn mỗi thành phần đơn của $A_{\mathscr{F}}$ như một vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ $E$ chiều $n$ và định nghĩa bằng quy nạp $n$ phần tử $u_1, \ldots, u_n$ sao cho $u_i u_j = 0$ với $j < i$ và $u_i^2 \neq 0$, các $u_i$ có hạng 1; cuối cùng chỉ ra rằng hạt nhân của $s = u_1 + \ldots + u_n$ là không). Suy ra rằng $(A_{\mathscr{F}}, j_A)$ là một vành các phân thức trái của $A$ với các mẫu số trong $S$ (Bài tập 22).

27. (a) Cho $A$ là một vành và $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn trung thành. Chứng minh rằng, nếu $a, b$ là hai iđêan của $A$ sao cho $aM = bM$, thì các căn của $a$ và $b$ bằng nhau (sử dụng no. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4).

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu trong một miền nguyên $A$ $p$ là một iđêan nguyên tố sinh hữu hạn, thì $p^m \neq p^n$ với $m \neq n$.

(c) Cho $K$ là một trường và $A$ là vành đa thức $K[X, Y]$ theo hai bất định. Cho $a$ là iđêan $AX^4 + AX^3Y + AXY^3 + AY^4$, $b$ là iđêan $a + AX^2Y^2$ của $A$; chứng minh rằng $b \neq a$ và $b^2 = a^2$.