Exercice 23, § 2

a) Soit $A$ un anneau noethérien à gauche sans diviseur de 0 autre que 0. Montrer que $A$ possède un corps des fractions à gauche (utiliser l’exerc. 14 a) pour montrer que la condition $\beta_1$ de l’exerc. 22 b) est remplie pour $S = A - \{0\}$.

b) Soit $A$ un anneau noethérien à gauche et à droite et sans diviseur de 0. Montrer que tout $A$-module à gauche $M$, de type fini et dont tout élément $\neq 0$ est libre, est sous-module d’un $A$-module libre. (Plonger canoniquement $M$ dans $K \otimes_A M$, où $K$ est le corps des fractions (à gauche ou à droite) de $A$ considéré comme $A$-module à droite ; si $(x_i)$ est une base du $K$-espace vectoriel à gauche $K \otimes_A M$, montrer qu’il existe $a \neq 0$ dans $A$ tel que $M$ soit contenu dans le sous-$A$-module de $K \otimes_A M$ engendré par les $a^{-1} x_i$.)