Bài tập 26, § 2

(a) Chứng minh rằng mọi vành Zorn A (Đại số, chương VIII, § 6, bài tập 13) không có iđêan nil $\neq 0$ đều là gọn trái; đặc biệt, mọi vành phẳng tuyệt đối và mọi vành nguyên thủy có đế không suy biến về 0 đều là vành gọn trái.

(b) Cho A là một vành nguyên thủy trái có đế không suy biến về 0; chứng minh rằng, nếu A được biểu diễn như một vành con trù mật của một vành các tự đồng cấu $\operatorname{End}_D(V)$ của một không gian vectơ (Đại số, chương VIII, § 5, bài tập 10), thì vành $A_{\mathscr{F}}$ tương ứng với A (Bài tập 25) là đẳng cấu với $\operatorname{End}_D(V)$.

(c) Chứng minh rằng mọi vành tựa đơn A (Đại số, chương VIII, § 5, bài tập 5) đều gọn trái và gọn phải và rằng vành tương ứng $A_{\mathscr{F}}$ là tựa đơn. Suy ra rằng, với mọi vành B không suy biến về 0, tồn tại một đồng cấu $\phi : B \to R$ tới một vành R tựa đơn, phẳng tuyệt đối và sao cho $R_s$ là một R-môđun đơn ánh.

(d) Cho A là một vành Noether trái không có các iđêan lũy linh. Chứng minh rằng A là gọn trái và rằng vành tương ứng $A_{\mathscr{F}}$ là một vành nửa đơn ("Định lý Goldie"; sử dụng Bài tập 24 (a) và, mặt khác, sử dụng Đại số, chương VIII, § 2, Bài tập 7, lưu ý rằng trong vành phẳng tuyệt đối $A_{\mathscr{F}}$ không thể tồn tại một họ các phần tử lũy đẳng trực giao từng đôi một, trừ khi A chứa một tổng trực tiếp vô hạn của các iđêan trái $\neq 0$). Chứng minh rằng, nếu $s \in A$ không là ước phải của 0 trong A, thì nó khả nghịch trong $A_{\mathscr{F}}$ và ngược lại; tập S gồm các phần tử này là một tập con nhân của A. Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là tập hợp các iđêan trái của A giao với S (để thấy rằng các iđêan của A giao với S thuộc về $\mathscr{F}$, chú ý rằng các phần tử của S không phải là các ước trái của 0 trong A; để thấy rằng mọi $f \in \mathscr{F}$ chứa một phần tử của S, biểu diễn mỗi thành phần đơn của $A_{\mathscr{F}}$ như một vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ n-chiều E và định nghĩa bằng quy nạp n phần tử $u_1, \ldots, u_n$ sao cho $u_i u_j = 0$ với $j < i$ và $u_i^2 \neq 0$, các $u_i$ có hạng 1; cuối cùng chứng minh rằng hạt nhân của $s = u_1 + \ldots + u_n$ là không). Suy ra rằng $(A_{\mathscr{F}}, j_A)$ là một vành các phân thức trái của A với các mẫu trong S (Bài tập 22).