Exercice 26, § 2

a) Montrer que tout anneau de Zorn $A$ (Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 13) sans nilidéal $\neq 0$ est net à gauche ; en particulier, tout anneau absolument plat et tout anneau primitif dont le socle n'est pas réduit à 0 est un anneau net à gauche.

b) Soit $A$ un anneau primitif à gauche dont le socle n'est pas réduit à 0 ; montrer que, si $A$ est représenté comme sous-anneau dense d'un anneau d'endomorphismes $\mathrm{End}_D(V)$ d'un espace vectoriel (Alg., chap. VIII, § 5, exerc. 10), l'anneau $A_{\mathscr{F}}$ correspondant à $A$ (exerc. 25) est isomorphe à $\mathrm{End}_D(V)$.

c) Montrer que tout anneau quasi-simple $A$ (Alg., chap. VIII, § 5, exerc. 5) est net à gauche et à droite, et que l'anneau correspondant $A_{\mathscr{F}}$ est quasi-simple. En déduire que, pour tout anneau $B$ non réduit à 0, il existe un homomorphisme $\varphi : B \to R$ dans un anneau $R$ qui est quasi-simple, absolument plat et tel que $R_s$ soit un $R$-module injectif.

d) Soit $A$ un anneau noethérien à gauche sans idéaux nilpotents. Montrer que $A$ est net à gauche et que l'anneau correspondant $A_{\mathscr{F}}$ est un anneau simple (« théorème de Goldie » ; utiliser l'exerc. 24 a) et d'autre part, utiliser Alg., chap. VIII, § 2, exerc. 7, en remarquant que, dans l'anneau absolument plat $A_{\mathscr{F}}$, il ne peut exister de famille infinie d'idempotents orthogonaux deux à deux, sinon $A$ contiendrait une somme directe infinie d'idéaux à gauche $\neq 0$. Montrer que, si $s \in A$ n'est pas diviseur à droite de 0 dans $A$, il est inversible dans $A_{\mathscr{F}}$, et réciproquement ; l'ensemble $S$ de ces éléments est une partie multiplicative de $A$. Montrer que $\mathscr{F}$ est l'ensemble des idéaux à gauche de $A$ rencontrant $S$ (pour voir que les idéaux rencontrant $S$ appartiennent à $\mathscr{F}$, remarquer que les éléments de $S$ ne sont pas diviseurs à gauche de 0 dans $A$; pour voir que tout $I \in \mathscr{F}$ contient un élément de $S$, représenter $A_{\mathscr{F}}$ comme anneau d'endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, et définir par récurrence $n$ éléments $u_1, ..., u_n$ de $I$ tels que $u_i u_j = 0$ pour $j < i$ et $u_i^2 \neq 0$, les $u_i$ étant de rang 1 ; on montrera enfin que le noyau de $s = u_1 + \cdots + u_n$ est nul). En déduire que $(A_{\mathscr{F}}, j_A)$ est un anneau de fractions à gauche de $A$, à dénominateurs dans $S$ (exerc. 22).