Bài tập 8, § 2

Cho $A$ là một vành, $(S_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các tập con nhân của $A$ và $M = \bigoplus_{\lambda \in L} S_\lambda^{-1}A$. Hãy chứng minh rằng hai tính chất sau đây là tương đương: ($a$)$M$ là một $A$-môđun phẳng trung thành; ($\beta$) với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, tồn tại $\lambda \in L$ sao cho $m \cap S_\lambda = \varnothing$. Đặc biệt, nếu $S$ là một tập con nhân của $A$, $A$-môđun $S^{-1}A$ là phẳng trung thành chỉ khi các phần tử của $S$ khả nghịch, trong trường hợp đó $S^{-1}A$ được đồng nhất với $A$.