Bài tập 13, § 3

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn có cấp $n$ là một lũy thừa $p^f$ của một số nguyên tố $p$ và $K$ là một trường có đặc số $p$.

(a) Cho $E$ là một tập hợp hữu hạn trên đó $G$ tác động (\emph{Đại số}, chương I, § 7, no. 2); nếu $E'$ là tập hợp các phần tử của $E$ bất biến đối với mọi $g \in G$, hãy chứng minh rằng $\mathrm{Card}(E) \equiv \mathrm{Card}(E')$ (mod. $p$). Suy ra rằng, nếu $G$ không thu gọn về phần tử đơn vị $e$ của nó, thì tâm $Z$ của $G$ không thu gọn về $e$ (cho $G$ tác động lên chính nó bằng các tự đẳng cấu nội). Kết luận rằng $G$ là giải được (\emph{Đại số}, chương I, § 6, Bài tập 14).

(b) Cho $V$ là một không gian vectơ trên $K$ và $\rho$ là một đồng cấu từ $G$ vào $\mathbf{GL}(V)$. Gọi $V'$ là tập hợp các $x \in V$ bất biến đối với các ánh xạ tuyến tính $\rho(g)$, với $g \in G$. Chứng minh rằng, nếu $V'$ thu gọn về 0, thì $V$ tất yếu thu gọn về 0. (Nếu $x \in V$ và $x \neq 0$, áp dụng (a) cho nhóm con cộng tính $E$ của $V$ sinh bởi các phần tử $\rho(g)x$, với $g \in G$.)

(c) Cho $A = K^{(G)}$ là đại số của nhóm $G$ trên $K$ (\emph{Đại số}, chương 111, § 1) và cho $I$ là không gian con vectơ của $A$ (trên $K$) sinh bởi các phần tử $1 - g$ với $g \in G$. Chứng minh rằng $I$ là căn Jacobson của $A$ và rằng $A/I$ đẳng cấu với $K$ (sử dụng (b) và định nghĩa căn Jacobson); suy ra rằng $I$ là lũy linh.

(d) Cho $V$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $V'$ là tập hợp các phần tử $x$ của $V$ sao cho $g.x = x$ với mọi $g \in G$. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng

() $\dim_K(V) \leq n \cdot \dim_K(V/IV)$; (**) $\dim_K(V) \leq n \cdot \dim_K(V')$.

(Để thiết lập (), sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 4; suy ra (**) bằng cách xét đối ngẫu của không gian vectơ $V$ trên $K$.) Để hai vế của bất đẳng thức () (resp. (*)) bằng nhau, điều kiện cần và đủ là $V$ là một A-môđun tự do (xem Hệ quả 1 của Mệnh đề 5).