Exercice 13, § 3

Soient $G$ un groupe fini dont l’ordre $n$ est une puissance $p^f$ d’un nombre premier $p$, et $K$ un corps de caractéristique $p$.

a) Soit $E$ un ensemble fini où opère $G$ ($Alg.$, chap. I, § 7, no 2) ; si $E'$ est l’ensemble des éléments de $E$ invariants par tout $g \in G$, montrer que $\mathrm{Card}(E) \equiv \mathrm{Card}(E')$ (mod. $p$). En déduire que, si $G$ n’est pas réduit à son élément neutre $e$, le centre $Z$ de $G$ n’est pas réduit à $e$ (faire opérer $G$ dans lui-même par automorphismes intérieurs). Conclure que $G$ est résoluble ($Alg.$, chap. I, § 6, exerc. 14).

b) Soit $V$ un espace vectoriel sur $K$, et soit $\rho$ un homomorphisme de $G$ dans $\mathbf{GL}(V)$. Soit $V'$ l’ensemble des $x \in V$ invariants par les applications linéaires $\rho(g)$, où $g \in G$. Montrer que, si $V'$ est réduit à $0$, $V$ est nécessairement réduit à $0$. (Si $x \in V$ et $x \neq 0$, appliquer $a$) au sous-groupe additif $E$ de $V$ engendré par les éléments $\rho(g).x$, où $g \in G$.

c) Soit $A = K^{(G)}$ l’algèbre du groupe $G$ sur $K$ ($Alg.$, chap. III, 3e éd., § 1), et soit $I$ le sous-espace vectoriel de $A$ (sur $K$) engendré par les éléments $1 - g$ où $g \in G$. Montrer que $I$ est le radical de $A$ et que $A/I$ est isomorphe à $K$ (utiliser $b$) et la définition du radical) ; en déduire que $I$ est nilpotent.

d) Soient $V$ un $A$-module de type fini, $V'$ l’ensemble des éléments $x$ de $V$ tels que $g.x = x$ pour tout $g \in G$. Montrer que l’on a les inégalités

() $\dim_K(V) \leq n \cdot \dim_K(V/IV)$; (**) $\dim_K(V) \leq n \cdot \dim_K(V')$.

(Pour établir (), utiliser le cor. 2 de la prop. 4 ; en déduire (**) en considérant le dual de l’espace vectoriel $V$ sur $K$.) Pour que les deux membres de l’inégalité () (resp. (*)) soient égaux, il faut et il suffit que $V$ soit un $A$-module libre (cf. cor. 1 de la prop. 5).