Bài tập 14, § 3

Cho $A$ là một vành, không nhất thiết giao hoán và có căn Jacobson $m$ sao cho $A/m$ là một trường, và $M$ là một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn.

(a) Cho $M'$ là một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn khác và $u : M \to M'$ là một đồng cấu sao cho $u(M)$ là một nhân tử trực tiếp của $M'$; số $\dim(M)$ được gọi là \emph{hạng} của $u$ và được ký hiệu là $\mathrm{rg}(u)$. Đối với một đồng cấu như vậy, $\mathrm{Ker}(u)$ là một nhân tử trực tiếp của $M$ và $\mathrm{rg}(u) = \dim(M) - \dim(\mathrm{Ker}(u))$; để $u$ là đơn ánh (tương ứng toàn ánh), điều kiện cần và đủ là $\mathrm{rg}(u) = \dim(M)$ (tương ứng $\mathrm{rg}(u) = \dim(M')$). Chuyển vị ${}^t u$ có tính chất là ${}^t u({M'}^*)$ là một nhân tử trực tiếp của $M^*$ và $\mathrm{rg}({}^t u) = \mathrm{rg}(u)$.