Exercice 14, § 3

Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, dont le radical $m$ est tel que $A/m$ soit un corps, et $M$ un $A$-module libre de type fini.

a) Soit $M'$ un second $A$-module libre de type fini, et soit $u : M \to M'$ un homomorphisme tel que $u(M)$ soit facteur direct de $M'$ ; on appelle rang de $u$ et on note $\mathrm{rg}(u)$ le nombre $\dim u(M)$. Pour un tel homomorphisme, $\mathrm{Ker}\,(u)$ est facteur direct de $M$ et $\rho(u) = \dim M - \dim (\mathrm{Ker}\,(u))$ ; pour que $u$ soit injectif (resp. surjectif), il faut et il suffit que $\mathrm{rg}(u) = \dim M$ (resp. $\mathrm{rg}(u) = \dim M'$), Le transposé $^t u$ est tel que $^t u({M'}^*)$ soit facteur direct dans $M^*$ et on a $\mathrm{rg}(^t u) = \mathrm{rg}(u)$.

b) Soit $n = \dim M$. On appelle droites (resp. hyperplans) dans $M$ les facteurs directs de $M$ de dimension 1 (resp. $n-1$). On dit qu’un automorphisme $u \in \mathbf{GL}(M)$ distinct de l’identité est une transvection s’il existe un hyperplan $H$ de $M$ dont les éléments sont invariants par $u$ ; on a alors $u(x) = x + a \varphi(x)$, où $\varphi$ est une forme linéaire sur $M$ telle que $H = \mathrm{Ker}\,(\varphi)$ et $a \in H$ ; réciproque. Si $A$ est commutatif, montrer que tout automorphisme $u \in \mathbf{GL}(M)$ de déterminant 1 est produit de transvections (observer que, dans la matrice de $u$ par rapport à une base quelconque de $M$, toute colonne contient au moins un élément inversible de A, et une matrice de la forme $I + \lambda E_{ij}$ ($i \neq j$) est la matrice d'une transvection).

c) Donner un exemple d'un automorphisme $u \in \mathbf{GL}(M)$ tel que le noyau de $1 - u$ ne soit pas facteur direct de M (prendre pour A l'anneau local $K[[X]]$ des séries formelles à une indéterminée sur un corps K, et $M = A$).

d) Donner un exemple de facteurs directs N, P de M (nécessairement libres) tels que $N + P$ et $N \cap P$ ne soient pas des facteurs directs de M. (Prendre $A = K[X]/(X^2)$, où K est un corps, et $M = A^2$.)