Bài tập 15, § 3

Cho A là một vành (giao hoán), M là một A-môđun.

a) Để một môđun con $M'$ của M là thuần (Chương I, § 2, Bài tập 24), điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan cực đại $m$ của A, $M'_m$ là một môđun con thuần của $M_m$ trên $A_m$ (sử dụng Định lý 1 của No. 3).

b) Giả sử A là một vành địa phương với iđêan cực đại $m$, và M là một A-môđun tự do kiểu hữu hạn. Để một môđun con $M'$ kiểu hữu hạn của M là thuần, điều kiện cần và đủ là nó là một nhân tử trực tiếp của M. (Sử dụng Hệ quả 1 của Mệnh đề 5 của No. 2, rút gọn về việc chứng minh rằng, nếu $M' \subset mM, M'$ chỉ có thể là một môđun con thuần của M nếu $M' = 0$.)