Exercice 15, § 3

Soient A un anneau (commutatif), M un A-module.

a) Pour qu'un sous-module $M'$ de M soit pur (chap. I, § 2, exerc. 24), il faut et il suffit que, pour tout idéal maximal $m$ de A, $M'_m$ soit un sous-$A_m$-module pur de $M_m$ (utiliser le th. 1 du n° 3).

b) On suppose que A soit un anneau local d'idéal maximal $m$, et M un A-module libre de type fini. Pour qu'un sous-module $M'$ de type fini de M soit pur, il faut et il suffit qu'il soit facteur direct de M. (En utilisant le cor. 1 de la prop. 5 du n° 2, se ramener à prouver que, si $M' \subset mM, M'$ ne peut être sous-module pur de M que si $M' = 0$.)