Bài tập 2, § 3

(a) Cho $A$ là một vành địa phương (giao hoán) có iđêan cực đại $m$ là chính và sao cho $\bigcap_{n \geq 1} m^n = 0$ (xem Chương III, § 3, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4). Hãy chứng minh rằng các iđêan duy nhất $\neq 0$ và $\#A$ của $A$ là các lũy thừa $m^n$; suy ra rằng $A$ là Noether và là vành định giá rời rạc (Chương VI) hoặc một vành gần chính trong đó 1 là một lũy đẳng không phân tích được (Đại số, Chương VII, § 1, Bài tập 6).

(b) Cho $A$ là vành các mầm tại điểm $t = 0$ của các hàm giá trị thực được xác định và liên tục trong một lân cận của 0 và khả vi tại điểm 0 (Tôpô đại cương, Chương I, ấn bản thứ 3, § 6, no. 10). Hãy chứng minh rằng $A$ là một vành địa phương có iđêan cực đại $m$ được sinh bởi mầm của hàm $j : t \mapsto t ; m^n \neq 0$ với mọi $n$ nhưng $A$ không phải là một miền iđêan chính. Nếu $c$ là mầm của hàm $t \mapsto \exp(-1/t^2)$ và $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$ không chứa $c$, hãy chứng minh rằng vành thương $B = A/p$ là một miền nguyên địa phương không phải là một miền iđêan chính và trong đó iđêan cực đại là chính.