Exercice 2, § 3

a) Soit $A$ un anneau local (commutatif) dont l’idéal maximal $m$ soit principal et tel que $\bigcap_{n \geq 1} m^n = 0$ (cf. chap. III, § 3, no 2, cor. de la prop. 4). Montrer que les seuls idéaux de $A$ sont $0, A$ et les puissances $m^n$; en déduire que $A$ est noethérien et est, soit un anneau de valuation discrète (chap. VI), soit un anneau quasi-principal dans lequel 1 est un idempotent indécomposable (Alg., chap. VII, § 1, exerc. 6).

b) Soit $A$ l’anneau des germes au point $t = 0$ des fonctions numériques définies et continues dans un voisinage de 0 et dérivables au point 0 (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 6, no 10). Montrer que $A$ est un anneau local dont l’idéal maximal $m$ est engendré par le germe de la fonction $j : t \to t$; on a $m^n \neq 0$ pour tout $n$, mais $A$ n’est pas principal. Si $c$ est le germe de la fonction $t \to \exp(-1/t^2)$, et $p$ un idéal premier de $A$ ne contenant pas $c$, montrer que l’anneau quotient $B = A/p$ est un anneau local intègre non principal dans lequel l’idéal maximal est principal.