Bài tập 3, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương (không nhất thiết giao hoán, xem Bài tập 1) và $m$ là căn Jacobson của nó.

(a) Cho $L$ là một A-môđun tự do trái và $x \neq 0$ là một phần tử của $L$. Cho $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của $L$ sao cho số các thành phần $\neq 0$ của $x$ là nhỏ nhất có thể; nếu $x = \sum_{i \in I} \xi_i e_i$, gọi $J$ là tập hợp các $i \in I$ sao cho $\xi_i \neq 0$. Chứng minh rằng không một $\xi_i$ nào ($i \in J$) thuộc iđêan phải của $A$ sinh bởi các phần tử còn lại.

(b) Với các giả thiết và ký hiệu của (a), cho P, Q là hai môđun con bù nhau của L sao cho $x \in P$; với mọi $t \in I$, cho $e_t = y_t + z_t$, trong đó $y_t \in P$, $z_t \in Q$. Chứng minh rằng họ gồm các $y_t$ với $t \in J$ và các $e_t$ với $t \notin J$ là một cơ sở của L. (Chứng minh, sử dụng (a), rằng, nếu $z_k = \sum_{t \in I} \zeta_{kt} e_t$, thì các thành phần $\zeta_{kt}$ sao cho $k \in J$ và $t \in J$ tất yếu thuộc $m$ và sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 4.) Suy ra rằng tồn tại một môđun con tự do của P chứa x và là một nhân tử trực tiếp của P.

(c) Chứng minh rằng mọi A-môđun xạ ảnh P đều là tự do (sử dụng Định lý Kaplansky (Đại số, chương 11, § 2, Bài tập 4), quy về trường hợp P được sinh bởi một họ đếm được các phần tử và áp dụng (b) cho trường hợp này).

(d) Cho một ví dụ về một vành địa phương A và một A-môđun phẳng M không tự do và thỏa mãn $mM = M$ (lấy $A = \mathbf{Z}_{(p)}$). (Trong chương III, § 3, chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ về các A-môđun phẳng trung thành không tự do trên một vành địa phương Noether A.)

(e) Cho A là một vành địa phương và M là một A-môđun phẳng sinh hữu hạn. Chứng minh rằng M là một A-môđun tự do (sử dụng Bài tập 23 (e) của chương I, § 2).