Exercice 3, § 3

Soient $A$ un anneau local (non nécessairement commutatif, cf. exerc. 1), $m$ son radical.

a) Soient $L$ un $A$-module à gauche libre, $x \neq 0$ un élément de $L$. Soit $(e_i)_{i \in I}$ une base de $L$ pour laquelle le nombre des composantes $\neq 0$ de x soit le plus petit possible ; si $x = \sum_{i \in I} \xi_i e_i$, soit J l’ensemble des $i \in I$ tels que $\xi_i \neq 0$. Montrer qu’aucun des $\xi_i (i \in J)$ n’appartient à l’idéal à droite de A engendré par les autres.

b) Les hypothèses et notations étant celles de a), soient P, Q des sous-modules supplémentaires de L tels que $x \in P$; pour tout $i \in I$, soit $e_i = y_i + z_i$, où $y_i \in P, z_i \in Q$. Montrer que la famille formée des $y_i$ pour $i \in J$ et des $e_i$ pour $i \notin J$ est une base de L. (Prouver, en utilisant a), que si $z_x = \sum_{i \in I} \zeta_{x,i} e_i$ les composantes $\zeta_{x,i}$ telles que $x \in J$ et $i \in J$ appartiennent nécessairement à m et utiliser le cor. 2 de la prop. 4.) En déduire qu’il existe un sous-module libre de P qui contient x et est facteur direct de P.

c) Montrer que tout A-module projectif P est libre (en utilisant le th. de Kaplansky (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 4) on se ramènera au cas où P est engendré par une famille dénombrable d’éléments, et on appliquera b) à ce cas).

d) Donner un exemple d’un anneau local A et d’un A-module plat M qui ne soit pas libre et soit tel que mM = M (prendre $A = \mathbf{Z}_{(p)}$). (Au chap. III, § 3, nous donnerons des exemples de A-modules fidèlement plats et non libres sur un anneau local noethérien A.).

e) Soient A un anneau local, M un A-module plat de type fini. Montrer que M est un A-module libre (utiliser l’exerc. 23 e) du chap. I, § 2).