Bài tập 2, § 1

Cho $A$ là một vành giao hoán phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$ sao cho $A_n = 0$ với $n < 0$. Với mọi $n \geq 0$, ký hiệu $A_{[n]}$ là iđêan phân bậc $\bigoplus_{m \geq n} A_m$ của $A$; $A$-đại số $A^h = \bigoplus_{n \geq 0} A_{[n]}$ là một vành được phân bậc bởi các $A_{[n]} = A_n^h$; với mọi $f \in A, (d > 0)$, ký hiệu $f^h$ là phần tử của $A^h$ mà các thành phần của nó bằng không ngoại trừ thành phần có bậc $d$, bằng $f$.

(a) Chứng minh rằng, iff $\in A_d$, trong đó $d > 0$, vành $A_{(f^h)}^h$ là đẳng cấu với $(A_f)^{\geq}$ (ký hiệu của Bài tập 1).

(b) Để $A^h$ là một $A$-đại số sinh hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $A$ là một $A_{(f)}$-đại số sinh hữu hạn.

(c) Để $A_{n+1}^h = A_1^h A_n^h$ (tương ứng $A_n^h = (A_1^h)^n$) với $n \geq n_0$, điều kiện cần và đủ là $A_{n+1} = A_1 A_n$ (tương ứng $A_n = (A_1)^n$) với $n \geq n_0$.