Exercice 2, § 1

Soit $A$ un anneau commutatif gradué de type $\mathbf{Z}$ tel que $A_n = 0$ pour $n < 0$. Pour tout $n \geq 0$, on désigne par $A_{[n]}$ l’idéal gradué $\bigoplus_{m \geq n} A_m$ de $A$; la $A$-algèbre $A^{\sharp} = \bigoplus_{n \geq 0} A_{[n]}$ est un anneau gradué par les $A_{[n]} = A_n^{\sharp}$; pour tout $f \in A_d$ ($d > 0$), on désigne par $f^{\sharp}$ l’élément de $A^{\sharp}$ dont les composantes sont nulles sauf celle de degré $d$, égale à $f$.

a) Montrer que si $f \in A_d$, avec $d > 0$, l’anneau $A_{(f^{\sharp})}^{\sharp}$ est isomorphe à $(A_f)^{\geq}$ (notations de l’exerc. 1).

b) Pour que $A^\sharp$ soit une $A$-algèbre de type fini, il faut et il suffit que $A$ soit une $A_0$-algèbre de type fini.

c) Pour que $A_{n+1}^\sharp = A_1^\sharp A_n^\sharp$ (resp. $A_n^\sharp = (A_1^\sharp)^n$) pour $n \geq n_0$, il faut et il suffit que $A_{n+1} = A_1 A_n$ (resp. $A_n = (A_1)^n$) pour $n \geq n_0$.