Bài tập 13, § 2

Cho $K$ là một trường, $A = K[[X]]$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức và $m$ là iđêan cực đại của nó, sao cho $A$ là Hausdorff và đầy đủ với tôpô $m$-adic (no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 6). Trên nhóm cộng $A$, xét lọc $(E_n)$ sao cho $E_0 = A$ và $E_n$ là giao của $m^n$ và vành $K[X]$; lọc này là đầy đủ và tách, tôpô $\mathscr{T}$ mà nó xác định trên $A$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng trên $A$ và mịn hơn tôpô $m$-adic nhưng $A$ không phải là một nhóm đầy đủ với tôpô $\mathscr{T}$ (xét dãy các đa thức $(1 - X^n)/(1 - X)$).

14 Cho $A$ là một vành (không nhất thiết giao hoán) và $E$ là một A-môđun trái. Một tôpô trên $E$ được gọi là tuyến tính nếu nó bất biến qua các phép tịnh tiến và $0$ có một hệ cơ sở lân cận gồm các môđun con của $E$; khi đó $E$ được nói là có tôpô tuyến tính. Một tôpô tuyến tính trên $E$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng của nó và xác định trên $E$ một cấu trúc A-môđun tôpô nếu $A$ được cho tôpô rời rạc. Trên mọi A-môđun, tôpô rời rạc và tôpô thô nhất là các tôpô tuyến tính.

(a) Nếu $E$ là một môđun có tôpô tuyến tính và $F$ là một môđun con của $E$, tôpô cảm sinh trên $F$ và tôpô thương của tôpô trên $E$ theo $F$ là các tôpô tuyến tính. Nếu $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược các A-môđun có tôpô tuyến tính, trong đó các $f_{\alpha\beta}$ là các ánh xạ tuyến tính liên tục, thì A-môđun tôpô $E = \lim \leftarrow E_\alpha$ có tôpô tuyến tính.

(b) Cho $E$ là một A-môđun có tôpô tuyến tính. Tồn tại một hệ cơ sở $(V_\lambda)_{\lambda \in L}$ của các lân cận của $0$ trong $E$ gồm các môđun con mở (và đóng); nếu $\phi_{\lambda\mu}: E/V_\mu \to E/V_\lambda$ là ánh xạ chính tắc khi $V_\lambda \supseteq V_\mu$, họ $(E/V_\lambda, \phi_{\lambda\mu})$ là một hệ ngược các A-môđun rời rạc; A-môđun tôpô $\tilde{E} = \lim \leftarrow E/V_\lambda$ được đồng nhất với phép hoàn thành Hausdorff của $E$, do đó là một môđun có tôpô tuyến tính (Tôpô Đại cương, Chương III, § 7, no. 3).

(c) Một A-môđun $E$ Hausdorff có tôpô tuyến tính là rời rạc nếu nó là Artin hoặc nếu tồn tại một phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các môđun con $\neq 0$ của $E$.

15. (a) Cho $E$ là một môđun A được tôpô tuyến tính (Bài tập 14). Đối với một cơ sở lọc $\mathfrak{B}$ trên $E$ gồm các đa tạp tuyến tính, để có một điểm tụ, điều kiện cần và đủ là tồn tại một cơ sở lọc hội tụ $\mathfrak{B}' \supset \mathfrak{B}$ gồm các đa tạp tuyến tính affine. $E$ được gọi là linearly compact nếu nó là Hausdorff và mọi cơ sở lọc trên $E$ gồm các đa tạp tuyến tính affine đều có ít nhất một điểm tụ. Mọi môđun Artin đều là linearly compact với tôpô rời rạc. Mọi môđun con linearly compact của một môđun Hausdorff được tôpô tuyến tính $F$ đều đóng trong $F$.

(b) Nếu $E$ là một A-môđun compact tuyến tính và $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $E$ vào một A-môđun $F$ Hausdorff được tôpô tuyến tính, $u(F)$ là một môđun con compact tuyến tính của $F$.

(c) Cho $E$ là một A-môđun Hausdorff được tôpô tuyến tính và $F$ là một môđun con đóng của $E$. Để $E$ là compact tuyến tính, điều kiện cần và đủ là $F$ và $E/F$ cũng như vậy.

(d) Mọi tích của các môđun compact tuyến tính đều là compact tuyến tính (xét một cơ sở lọc cực đại trong số các cơ sở lọc gồm các đa tạp tuyến tính affine.

(e) Cho $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược của các môđun được tôpô tuyến tính đối với một tập chỉ số có hướng; giả sử rằng các $f_{\alpha\beta}$ là các ánh xạ tuyến tính liên tục và rằng, với $\alpha \leq \beta$, $f_{\alpha\beta}^{-1}(0)$ là một môđun con compact tuyến tính của $E_\alpha$. Cho $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$, và cho $f_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $E \to E_\alpha$; hãy chỉ ra rằng, với mọi $\alpha$, $f_\alpha(E) = \bigcap_{\alpha \leq \beta} f_{\alpha\beta}(E_\beta)$ (đặc biệt, nếu các $f_{\alpha\beta}$ là toàn ánh, thì các $f_\alpha$ cũng là toàn ánh) và $f_\alpha^{-1}(0)$ là compact tuyến tính (sử dụng (d) và General Topology, Chương I, Phụ lục, no. 2, Định lý 1).

¶16. (a) Cho $E$ là một A-môđun Hausdorff được tôpô tuyến tính. Chỉ ra rằng các tính chất sau là tương đương:

$(\alpha)$ $E$ là compact tuyến tính (Bài tập 15).

$(\beta)$ Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ $E$ vào một A-môđun $F$ Hausdorff được tôpô tuyến tính, $u(E)$ là một môđun con đóng của $F$.

$(\gamma)$ Với mọi tôpô tuyến tính (Hausdorff hoặc không) trên $E$ thô hơn tôpô đã cho, $E$ là đầy đủ.

$(\delta)$ $E$ là đầy đủ và có một hệ cơ sở $(U_\lambda)$ các lân cận mở của 0 trong $E$, gồm các môđun con, sao cho các $E/U_\lambda$ là các A-môđun rời rạc compact tuyến tính (xem § 3, Bài tập 5).

(Để thấy rằng $(\gamma)$ kéo theo $(\delta)$ hãy xét một môđun con mở $F$ của $E$ và một cơ sở lọc $\mathfrak{B}$ trên $E/F$ gồm các đa tạp tuyến tính affine. Với mọi $V \in \mathfrak{B}$, gọi $M_V$ là ảnh ngược trong E của môđun con phương của V trong E/F; xét trên E tôpô tuyến tính trong đó các $M_v$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0.)

(b) Cho E là một A-môđun Hausdorff được tôpô tuyến tính và M là một môđun con compact tuyến tính của E. Chỉ ra rằng, với mọi môđun con đóng F của E, $M + F$ là đóng trong E (xét ảnh của M trong E/F).

(c) Cho E là một A-môđun tuyến tính compact và F là một A-môđun tuyến tính có tôpô Hausdorff. Chứng minh rằng với mọi môđun con đóng M của $E \times F$, phép chiếu của M lên F là đóng. Suy ra điều đảo lại (xem Tôpô đại cương, Chương I, § 10, no. 2).

(d) Cho E là một A-môđun tuyến tính compact và $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào một A-môđun tuyến tính có tôpô Hausdorff F. Chứng minh rằng, với mọi cơ sở lọc $\mathscr{B}$ trên E gồm các đa tạp tuyến tính affine, ảnh qua $u$ của tập hợp các điểm tụ của $\mathscr{B}$ là tập hợp các điểm tụ của $u(\mathscr{B})$. Đặc biệt, với mọi môđun con đóng M của E, $\bigcap_{N \in \mathscr{B}} (M + N) = M + \bigcap_{N \in \mathscr{B}} N$.

17. Một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}$ trên một môđun A E được gọi là tối tiểu nếu nó là Hausdorff và không tồn tại tôpô tuyến tính Hausdorff nào thô hơn nghiêm ngặt so với $\mathscr{T}$.

(a) Để một tôpô tuyến tính Hausdorff $\mathscr{T}$ trên E là cực tiểu, điều kiện cần và đủ là mọi cơ sở lọc $\mathscr{B}$ trên E, gồm các đa tạp tuyến tính affine và có một điểm tụ duy nhất, đều hội tụ đến điểm này. (Để thấy điều kiện là cần, nhận xét rằng, khi M chạy qua $\mathscr{B}$ và V là một hệ cơ sở các lân cận của 0 gồm các môđun con, thì các $M + V$ tạo thành một cơ sở lọc có cùng các điểm tụ như $\mathscr{B}$. Để thấy điều kiện là đủ, chú ý rằng một cơ sở lọc gồm các môđun con mở, có giao rút gọn về 0, là một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong một tôpô tuyến tính Hausdorff thô hơn $\mathscr{T}$.)

(b) Để một tôpô rời rạc trên một A-môđun E là cực tiểu, điều kiện cần và đủ là E là Artin.

(c) Nếu $\mathscr{T}$ là cực tiểu, tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ trên mọi môđun con đóng của E là cực tiểu.

¶ 18. Trong một A-môđun E, một môđun con $M \neq E$ được gọi là được che chở nếu tồn tại một phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các môđun con $\neq 0$ của $E/M$.

(a) Chứng minh rằng mọi môđun con $N \neq E$ của E là một giao của các môđun con được che chở (với mọi $x \notin N$, xét một phần tử cực đại trong tập hợp các môđun con của E chứa N và không chứa $x$).

(b) Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô tuyến tính Hausdorff trên E và cho $\mathscr{T}^*$ là tôpô tuyến tính có hệ cơ sở các lân cận của 0 là cơ sở lọc sinh bởi các môđun con của E mở đối với $\mathscr{T}$ và được che chở. Chứng minh rằng $\mathscr{T}^*$ là Hausdorff và mọi môđun con đóng đối với $\mathscr{T}$ cũng đóng đối với $\mathscr{T}^*$ (chú ý rằng mọi môđun con đóng đối với $\mathscr{T}$ là một giao của các môđun con mở đối với $\mathscr{T}$). Suy ra rằng, nếu E đầy đủ đối với $\mathscr{T}^*$, thì E đầy đủ đối với $\mathscr{T}$ (Tôpô đại cương, Chương III, § 3, no. 5, Mệnh đề 9).

(c) Giả sử rằng $\mathscr{T}$ là tuyến tính compact. Khi đó chứng minh rằng $\mathscr{T}^*$ là tuyến tính compact và là tôpô tuyến tính Hausdorff thô nhất thô hơn $\mathscr{T}$; đặc biệt $\mathscr{T}^*$ là một tôpô tuyến tính cực tiểu (Bài tập 17). (Cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc gồm các môđun con đóng đối với $\mathscr{T}$ có giao bằng 0; chứng minh rằng, với mọi môđun con U mở đối với $\mathscr{T}$ và được che chở, tồn tại $M \in \mathfrak{B}$ sao cho $M \subset U$, sử dụng Bài tập 16 (d)).

(d) Cho F là một A-môđun tuyến tính có tôpô Hausdorff và $\mathscr{T}_1$ là tôpô của nó; chứng minh rằng, nếu $u : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục đối với các tôpô $\mathscr{T}$ và $\mathscr{T}_1$, thì $u$ cũng liên tục đối với các tôpô $\mathscr{T}^*$ và $\mathscr{T}_1^*$.

¶ 19. (a) Cho E là một A-môđun tuyến tính compact. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(α) Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ E vào một A-môđun tuyến tính có tôpô Hausdorff F, $u$ là một cấu xạ ngặt (Tôpô đại cương, Chương III, § 2, no. 8) từ E vào F.

(β) Với mọi môđun con đóng F của E, tôpô thương trên E/F là một tôpô cực tiểu (Bài tập 17).

(γ) E đầy đủ và có một hệ cơ sở $(U_\lambda)$ các lân cận mở của 0 trong E, gồm các môđun con và sao cho các $E/U_\lambda$ là các môđun Artin.

(Để thấy rằng (γ) kéo theo (β), rút gọn về trường hợp $F = 0$ và sử dụng các Bài tập 17 và 18.)

Nếu E thỏa các điều kiện tương đương (α), (β) và (γ), E được gọi là tuyến tính compact ngặt.

(b) Cho E là một A-môđun tuyến tính có tôpô Hausdorff và F là một môđun con đóng của E. Để E là tuyến tính compact ngặt, điều kiện cần và đủ là F và E/F đều như vậy.

(c) Mọi giới hạn ngược của các môđun tuyến tính compact ngặt đều là tuyến tính compact ngặt.

(d) Cho E là một A-môđun tuyến tính có tôpô Hausdorff và $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một A-môđun tuyến tính compact ngặt F. Chứng minh rằng nếu đồ thị của $u$ là đóng trong $E \times F$, thì $u$ liên tục (sử dụng Bài tập 16 (c) và sự kiện rằng, nếu M đóng trong E và $E/M$ là Artin, thì M mở trong E).

¶ 20. (a) Chứng minh rằng một môđun tuyến tính compact rời rạc không thể là tổng trực tiếp của một vô hạn các môđun con không rút gọn về 0.

(b) Cho một ví dụ về một tôpô tuyến tính cực tiểu (Bài tập 17) không tuyến tính compact (xét một tổng trực tiếp vô hạn của các môđun đơn mà không có hai môđun nào đẳng cấu).

(c) Cho E là một môđun compact tuyến tính sao cho tồn tại một họ các môđun con đơn mà tổng của chúng trù mật trong E. Chứng minh rằng: (1) E là compact tuyến tính nghiêm ngặt (áp dụng (a) cho môđun thương của E bởi một môđun con mở); (2) E đẳng cấu với tích (tôpô) của một họ các môđun đơn rời rạc. (Xét các tập hợp $\mathscr{O}$ gồm các môđun con mở cực đại của E sao cho với mọi dãy hữu hạn $(G_k)_{1 \leq k \leq n}$ gồm n phần tử phân biệt của $\mathscr{O}$, $E / \left( \bigcap_{k=1}^n G_k \right)$ là tổng trực tiếp của n môđun con đơn. Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp cực đại $\mathscr{O}$ (đối với phép bao hàm) và rằng giao của tất cả các môđun con G thuộc một tập hợp như vậy được rút gọn thành 0; sử dụng sự kiện rằng $\{0\}$ là một giao của các môđun con mở cực đại và rằng với mọi môđun con mở cực đại G của E có ít nhất một môđun con đơn của E không được chứa trong G. Kết luận bằng cách sử dụng sự kiện rằng E là compact tuyến tính nghiêm ngặt.)

(d) Suy ra từ (c) rằng mọi không gian vectơ compact tuyến tính trên một trường K là compact tuyến tính nghiêm ngặt và đẳng cấu với một tích $K_s^1$.

¶ 21. Nhắc lại rằng trên một vành A một tôpô được gọi là tuyến tính (trái) nếu nó là một tôpô tuyến tính trên A-môđun A, và nó tương thích với cấu trúc vành trên A (Chương II, § 2, Bài tập 16). Một vành tôpô A được gọi là compact tuyến tính (trái) (tương ứng compact tuyến tính nghiêm ngặt (trái)) nếu A, là một A-môđun compact tuyến tính (tương ứng compact tuyến tính nghiêm ngặt).

(a) Chứng minh rằng, nếu A là compact tuyến tính trái với tôpô $\mathscr{T}$, tôpô $\mathscr{T}^*$ được định nghĩa trong Bài tập 18(b) cũng tương thích với cấu trúc vành trên A (sử dụng Bài tập 18(d)).

(b) Giả sử rằng A giao hoán; cho $u \neq 0$ là một phần tử lũy đẳng của $A/\mathfrak{R}$, trong đó $\mathfrak{R}$ là căn Jacobson của A. Chứng minh rằng nếu A là compact tuyến tính với tôpô rời rạc, tồn tại duy nhất một phần tử lũy đẳng $e \in A$ có ảnh trong $A/\mathfrak{R}$ bằng $u$. (Chứng minh rằng trong số các đa tạp afin tuyến tính $x + b$, trong đó $b \subset \mathfrak{R}$ và $x^2 - x \in b$, được chứa trong lớp $u$, có một phần tử cực tiểu $e + a$. Suy ra rằng $e^2 = e$ và $a = 0$, bằng cách xét phần tử $e^2 - e = r$ và chứng minh rằng $r \in Ar^2$, sử dụng Đại số, Chương VIII, § 6, Bài tập 10 (a). Chứng minh tính duy nhất của $e$ bằng cách chứng minh rằng nếu $e_1, e_2$ là hai phần tử lũy đẳng của A sao cho $e_1e_2 \in \mathfrak{R}$, thì $e_1e_2 = 0$.)

(c) Chứng minh rằng mọi vành giao hoán A là compact tuyến tính với tôpô rời rạc là một hợp thành trực tiếp của một số hữu hạn các vành địa phương (là compact tuyến tính với tôpô rời rạc). (Xét trước trường hợp, trong đó $31 = 0$, sử dụng Bài tập 15(b) và Chương II, § 1, no. 2, Mệnh đề 5, sau đó áp dụng (b) cho các phần tử lũy đẳng của $A/\%$.)

(d) Chứng minh rằng mọi vành giao hoán compact tuyến tính (tương ứng compact tuyến tính nghiêm ngặt) A là tích của một họ các vành địa phương compact tuyến tính (tương ứng compact tuyến tính nghiêm ngặt). (Gọi $(m_\lambda)$ là họ các iđêan cực đại mở của A; với mọi iđêan mở $a$ không chứa $m_\lambda$, gọi $A_l, x \ A_\lambda''$ là phân tích của $A/a$ thành một hợp thành trực tiếp của hai vành sao cho $A_l$, là vành địa phương với iđêan cực đại $(m_\lambda + a)/a$ được định nghĩa trong (c); gọi $e'_\lambda(a)$ là phần tử đơn vị của $A_\lambda'$ được xét như một lớp mod. $a$ trong A; các $e'_\lambda(a)$ tạo thành một cơ sở lọc hội tụ trong A đến một phần tử lũy đẳng $e_\lambda$ và $Ae$, là một iđêan đóng của A mà $e_\lambda$ là phần tử đơn vị. Chứng minh rằng vành $Ae_\lambda$ là một vành địa phương và rằng A đẳng cấu với tích của các $Ae_\lambda$.)

¶ 22. (a) Cho $A$ là một vành địa phương và $m$ là iđêan cực đại của nó. Chứng minh rằng, nếu, đối với một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}$ trên A, A là compact tuyến tính nghiêm ngặt, thì $\mathscr{T}$ thô hơn tôpô $m$-adic.

(b) Cho $A$ là một vành giao hoán và $m$ là một iđêan của $A$. Để $A$ là tuyến tính compact nghiêm ngặt với tôpô $m$-adic, điều kiện cần và đủ là nó là Hausdorff và đầy đủ với tôpô này, rằng $A/m$ là một vành Artin và $m/m^2$ và $(A/m)$-môđun có độ dài hữu hạn (nói cách khác, $A$ là một vành Noether đầy đủ nửa địa phương) *.

(c) Cho $I$ là một tập hợp chỉ số vô hạn, $K$ là một trường hữu hạn và $A = K[[X_i]]_{i \in I}$ là đại số các chuỗi lũy thừa hình thức trong họ các bất định $(X_i)_{i \in I}$ (Đại số, Chương IV, § 5, Bài tập 1); $A$ là một vành địa phương. Với tư cách là một không gian vectơ trên $K$, $A$ có thể được đồng nhất với không gian tích $K^{N(I)}$; nếu $K$ được trang bị tôpô rời rạc và $A$ tôpô tích $\mathscr{T}$, hãy chứng minh rằng $\mathscr{T}$ là một tôpô tuyến tính trên vành $A$ mà với nó $A$ là tuyến tính compact nghiêm ngặt; nếu $m$ là iđêan cực đại của $A$, hãy chứng minh, bằng cách lập luận như trong Bài tập 12 (c), rằng $A$ không đầy đủ với tôpô $m$-adic.

¶ 23. Cho $A$ là một vành giao hoán với một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}$.

(a) Hãy chứng minh rằng các iđêan $a$ của $A$, đóng đối với $\mathscr{T}$ và sao cho $A/a$ là Artin, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}^{(c)}$ trên $A$, thô hơn $\mathscr{T}$ (sử dụng Đại số, Chương VIII, § 2, Bài tập 12); khi đó $(\mathscr{T}^{(c)})^{(c)} = \mathscr{T}^{(c)}$. Gọi $B$ là vành hoàn thành Hausdorff của $A$ đối với tôpô $\mathscr{T}^{(c)}$; hãy chứng minh rằng $B$ là tuyến tính compact nghiêm ngặt; $B$ được gọi là vành tuyến tính compact nghiêm ngặt liên kết với $A$.

(b) Cho $\mathscr{T}_\omega(A)$ là tôpô rời rạc trên $A$, $\mathscr{T}_c(A)$ là tôpô $(\mathscr{T}_\omega(A))^{(c)}$. Để tôpô $\mathscr{T}^{(c)}$ trên $A$ là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là $\mathscr{T}$ là Hausdorff và rằng, với mọi iđêan $b$ của $A$ mở đối với $\mathscr{T}$, tôpô $\mathscr{T}_c(A/b)$ là Hausdorff. \* Nếu $A$ là vành của một định giá không rời rạc có chiều cao 1 (Chương VI), $\mathscr{T}_c(A)$ không là Hausdorff. \*

(c) Giả sử $A$ là tuyến tính compact đối với $\mathscr{T}$; khi đó $A$ là đầy đủ (nhưng nói chung không Hausdorff) với $\mathscr{T}^{(c)}$. Khi đó để $\mathscr{T}^{(c)}$ là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là trên $A$ tồn tại một tôpô tuyến tính vừa compact tuyến tính nghiêm ngặt vừa thô hơn $\mathscr{T}$; khi đó $\mathscr{T}^{(c)}$ là tôpô duy nhất có các tính chất này.

(d) Cho $E$ là một A-môđun có tôpô tuyến tính và compact tuyến tính nghiêm ngặt. Chứng minh rằng, nếu $A$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_c(A)$, thì $E$ là một vành tôpô (chú ý rằng nếu $F$ là một A-môđun Artin, thì, với mọi $x \in F$, linh hóa tử $a$ của $x$ có tính chất là $A/a$ là Artin). Suy ra rằng, nếu $B$ là phép hoàn thiện Hausdorff của $A$ đối với tôpô $\mathscr{T}_c(A)$, thì $E$ có thể được xem như một B-môđun tôpô; vành $B$ đẳng cấu với một tích của các vành địa phương compact tuyến tính nghiêm ngặt

B_\lambda (Bài tập 21 (d)), chứng minh rằng E đẳng cấu với một tích của các môđun con compact tuyến tính nghiêm ngặt E_\lambda, trong đó E_\lambda bị triệt tiêu bởi các B_\mu có chỉ số \mu \neq \lambda và do đó có thể được xem như một B_\lambda-môđun tôpô (nếu e_\lambda là phần tử đơn vị của B, lấy E = e_\lambda \cdot E).

24. Trên một vành giao hoán A ký hiệu \mathscr{T}_m(A) là topo tuyến tính có một hệ cơ bản các lân cận của 0 là các tích (bằng các giao) của một số hữu hạn các lũy thừa của các ideal cực đại (xem số. 13, Mệnh đề 17); nếu mọi giao hữu hạn của các ideal \neq 0 của A là \neq 0, ký hiệu \mathscr{T}_u(A) là topo tuyến tính mà một hệ cơ bản các lân cận của 0 gồm tất cả các ideal \neq \{0\} của A.

(a) Chứng minh rằng $\mathscr{T}_c(A)$ (Bài tập 23) thô hơn $\mathscr{T}_m(A)$ (chú ý rằng căn Jacobson của một vành Artin là lũy linh); cho một ví dụ trong đó $\mathscr{T}_c(A) \neq \mathscr{T}_m(A)$ (xem Bài tập 22 (c)). \* Nếu A là vành của một định giá không rời rạc chiều cao 1 (Chương VI), thì $\mathscr{T}_c(A) = \mathscr{T}_m(A)$ và $\mathscr{T}_u(A) \neq \mathscr{T}_m(A)$. \*

(b) Tôpô $\mathscr{T}_m(A)$ là tôpô tuyến tính thô nhất trên A sao cho các iđêan cực đại của A là đóng và mọi lũy thừa của một iđêan mở là một iđêan mở (chú ý rằng dưới một tôpô tuyến tính trên A, dưới đó một iđêan cực đại m là đóng, thì m nhất thiết là mở).

(c) Nếu A là một vành Noether, thì $\mathscr{T}_m(A) = \mathscr{T}_c(A)$ (chú ý rằng, nếu m là một iđêan cực đại của A, thì A/m^k là một vành Artin với mọi số nguyên k \geq 1, lưu ý rằng m^h/m^{h+1} là một (A/m)-môđun nhất thiết có độ dài hữu hạn). Cho một ví dụ về một vành địa phương Noether A sao cho $\mathscr{T}_m(A) \neq \mathscr{T}_u(A)$ (xét một vành địa phương của một vành đa thức trên một trường).

25. Cho $A$ là một vành topo và $E$ là một modun trái $A$ sinh hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại trên $E$ một topo (gọi là topo chính tắc) tương thích với cấu trúc modun $A$ của nó và mịn hơn mọi topo khác (viết $E$ dưới dạng $A_s^n/R$, cho $A_s^n$ topo tích và cho $E$ topo thương). Nếu $E'$ là một modun $A$ topo và $u : E \to E'$ là một ánh xạ tuyến tính $A$, chứng minh rằng $u$ liên tục với topo chính tắc trên $E$. Nếu thêm nữa $E'$ được sinh hữu hạn và có topo chính tắc, $u$ là một đồng cấu chặt. Nếu topo trên $A$ được xác định bởi một lọc $(A_n)$, chứng minh rằng topo chính tắc trên $E$ được xác định bởi lọc $(A_n E)$.

26. Cho $A$ là một vành giao hoán, $m$ là một ideal của $A$, $(\mathfrak{a}_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một hệ sinh của $m$ và $\hat{A}$ là phần bù Hausdorff của $A$ đối với topo $m$-adic.

Chứng minh rằng, nếu $A'$ ký hiệu vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo một họ $(T_\lambda)_{\lambda \in L}$ các phần tử bất định với chỉ một số hữu hạn số hạng có bậc đã cho (Bài tập 12), thì $\hat{A}$ đẳng cấu với thương của $A'$ theo bao đóng $b$ của iđêan của $A'$ sinh bởi các T, $- a_\lambda$ (dùng Định lý 1 của no. 8). Đặc biệt, vành $\mathbf{Z}_p$ của các số nguyên $p$-adic đẳng cấu với thương $\mathbf{Z}[[T]]/(T-p)$.

§ 27. (a) Cho A là một vành giao hoán với một tôpô tuyến tính. Với mọi tập con nhân S của A, ký hiệu $A\{S^{-1}\}$ là phần bù Hausdorff đầy đủ của vành $S^{-1}A$ với tôpô mà một hệ cơ bản các lân cận của 0 gồm các iđêan $S^{-1}U_\lambda$, trong đó $(U_\lambda)$ là một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong A gồm các iđêan của A. Chứng minh rằng $A\{S^{-1}\}$ đẳng cấu chính tắc với giới hạn ngược của các vành $S_\lambda^{-1}(A/U_\lambda)$ trong đó $S_\lambda$ là ảnh chính tắc của S trong $A/U_\lambda$. Nếu $\hat{A}$ là phần bù Hausdorff đầy đủ của A, thì $A\{S^{-1}\}$ đẳng cấu chính tắc với $\hat{A}\{S'-1\}$, trong đó $S'$ là ảnh chính tắc của S trong $\hat{A}$.

(b) Để $A\{S^{-1}\}$ bằng 0, điều kiện cần và đủ là, trong A, 0 thuộc bao đóng của S. Suy ra một ví dụ trong đó A là Hausdorff và đầy đủ nhưng $S^{-1}A$ không như vậy với tôpô được xác định trong (a).

(c) Với mọi đồng cấu liên tục $u$ từ A vào một vành B đầy đủ Hausdorff có tôpô tuyến tính sao cho $u(S)$ gồm các phần tử khả nghịch của B, chứng minh rằng $u = u' \circ j$, trong đó $j : A \to A\{S^{-1}\}$ là ánh xạ chính tắc và $u'$ là liên tục; hơn nữa $u'$ được xác định duy nhất.

(d) Cho $S_1, S_2$ là hai tập con nhân của A và cho $S'_2$ là ảnh chính tắc của $S_2$ trong $A\{S^{-1}\}$; định nghĩa một đẳng cấu chính tắc của $A\{(S_1S_2)^{-1}\}$ lên $A\{S_1^{-1}\}\{{S'_2}^{-1}\}$.

(e) Cho $a$ là một iđêan mở của A và cho $a\{S^{-1}\}$ là phần bù Hausdorff đầy đủ của $S^{-1}a$ đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên $S^{-1}A$; chứng minh rằng $a\{S^{-1}\}$ được đồng nhất một cách chính tắc với một iđêan mở của $A\{S^{-1}\}$ và rằng vành rời rạc $A\{S^{-1}\}/a\{S^{-1}\}$ đẳng cấu với $S^{-1}(A/a)$. Ngược lại, nếu $a'$ là một iđêan mở của $A\{S^{-1}\}$, ảnh ngược của nó a trong A là một iđêan mở sao cho $a' = a\{S^{-1}\}$. Đặc biệt, ánh xạ $p \mapsto p\{S^{-1}\}$ là một song ánh tăng của tập hợp các iđêan nguyên tố mở của A không gặp S lên tập hợp các iđêan nguyên tố mở của $A\{S^{-1}\}$.

(f) Cho $p$ là một iđêan nguyên tố mở của A và cho $S = A - p$. Chứng minh rằng $A\{S^{-1}\}$ là một vành địa phương mà trường thặng dư của nó đẳng cấu với trường phân thức của $A/p$.

(g) Với mọi phần tử $f \in A$, ký hiệu $A_{,,n}$ là vành $A\{S_f^{-1}\}$, trong đó $S_f$ là tập hợp nhân của thef'' ($n \geqslant 0$). Nếu $f$ chạy qua một tập hợp nhân S của A, các $A_{,,n}$ tạo thành một hệ trực tiếp các vành có giới hạn trực tiếp được ký hiệu là $A_{\{S\}}$ (không có tôpô); định nghĩa một đồng cấu chính tắc

Nếu $S = A - p$, trong đó $p$ là một iđêan nguyên tố mở của A, hãy chứng minh rằng $A_{\{S\}}$ là một vành địa phương, đồng cấu chính tắc $A_{\{S\}} \to A\{S^{-1}\}$ là địa phương và các trường thặng dư của $A_{,,n}$ và $A\{S^{-1}\}$ là đẳng cấu chính tắc (xem Chương II, § 3, Bài tập 16).

(h) Giả sử rằng tôpô trên $A$ là tôpô $m$-adic đối với một iđêan $m$ nào đó của $A$, rằng $A$ là Hausdorff và đầy đủ và rằng $m/m^2$ là một $(A/m)$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng, nếu $m' = m\{S^{-1}\}$, tôpô trên $A' = A\{S^{-1}\}$ là tôpô $m'$-adic, $m' = mA'$ và $m'/{m'}^2$ là một $(A'/m')$-môđun sinh hữu hạn (sử dụng Mệnh đề 14 của no. 10). Nếu $A$ là Noether, thì $A'$ cũng là Noether.

28. Cho $A$ là một vành giao hoán với một tôpô tuyến tính và $E, F$ là hai môđun $A$ tôpô được mà được tôpô tuyến tính. Nếu $V$ (tương ứng $W$) chạy qua tập hợp các môđun con mở của $E$ (tương ứng $F$), các môđun con

của $E \otimes_A F$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong $E \otimes_A F$ cho một tôpô tương thích với cấu trúc môđun của nó trên vành tôpô $A$ và được gọi là tích tenxơ của các tôpô đã cho trên $E$ và $F$. Bao đầy đủ Hausdorff $(E \otimes_A F)^{\wedge}$ của môđun $A$ này là một môđun $\hat{A}$ được gọi là tích tenxơ hoàn thành của $E$ và $F$.

(a) Chứng minh rằng, nếu $(V_\lambda)$ (tương ứng $(W_\mu)$) là một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong $E$ (tương ứng $F$) gồm các môđun con, $(E \otimes_A F)^{\wedge}$ là đẳng cấu chính tắc với giới hạn ngược của hệ ngược các $A$-môđun

suy ra rằng $(E \otimes_A F)^{\prime\prime}$ là một $\hat{A}$-môđun đẳng cấu chính tắc với $(\hat{E} \otimes_A \hat{F}^{\wedge})$; nó cũng được ký hiệu là $\hat{E} \otimes_A \hat{F}$.

(b) Cho $E', F'$ là hai $A$-môđun tôpô được tôpô tuyến tính và $u : E \to E' \ v : F \to F'$ là hai ánh xạ tuyến tính liên tục của $A$; chứng minh rằng $u \otimes v : E \otimes F \to E' \otimes F'$ là liên tục với các tôpô tích tenxơ trên $E \otimes F$ và $E' \otimes F'$; ta ký hiệu bởi $u \otimes v$ ánh xạ tuyến tính liên tục $(E \otimes F)^{\wedge} \to (E' \otimes F')^{\wedge}$ tương ứng với $u \otimes v$.

(c) Cho $B, C$ là hai $A$-đại số giao hoán với các tôpô tuyến tính sao cho các ánh xạ chính tắc $A \to B, A \to C$ là liên tục (để viết gọn, $B, C$ được gọi là các $A$-đại số tôpô). Chứng minh rằng $(B \otimes_A C)^{\wedge}$ có một cấu trúc $A$-đại số tôpô chính tắc được gọi là tích tenxơ đầy đủ của các đại số $B$ và $C$. Định nghĩa các biểu diễn liên tục chính tắc

có tính chất sau: với mọi $A$-đại số tôpô giao hoán Hausdorff đầy đủ $D$ và mọi cặp có thứ tự các $A$-đồng cấu liên tục $u : B \to D, v : C \to D$, tồn tại duy nhất một $A$-đồng cấu liên tục $w : (B \otimes_A C)^{\wedge} \to D$ sao cho $u = w \circ \rho$ và $v = w \circ \sigma$.

(d) Cho $m$ là một iđêan của $A$ sao cho tôpô trên $A$ là tôpô $m$-adic. Nếu $E$ và $F$ lần lượt được trang bị tôpô $m$-adic, chứng minh rằng trên $E \otimes_A F$ tích tenxơ của các tôpô trên $E$ và $F$ là tôpô $m$-adic. Suy ra rằng $(E \otimes_A F)^*$ là đẳng cấu với các giới hạn nghịch đảo $\lim((E/m^{n+1}) \otimes_A F)$ và $\lim(E \otimes_A (F/m^n + 1F))$.

29. Cho $A$ là một vành giao hoán, $m$ là một ideal của $A$ sao cho $\bigcap_{n > 0} m^n = 0$ và $c$ là một phần tử của $A$ không là ước của 0. Chứng minh rằng các bộ chuyển $q_n = m^n : Ac$ là mở đối với topo $m$-adic và có giao bằng không. Nếu $A$ compact tuyến tính nghiêm ngặt với topo $m$-adic (Bài tập 22(b)), $(q_n)$ là một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong $A$ đối với topo này.

30. Cho $K$ là một trường giao hoán vô hạn và $A$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức $K[[X, Y]]$ theo hai bất định, là một vành địa phương Noether Noether hoàn thiện Hausdorff. Xác định một tập nhân $S$ của $A$ sao cho $S^{-1}A$ không phải là một vành bán địa phương (nếu $(\lambda_n)$ là một dãy vô hạn các phần tử phân biệt của $K$, xét các ideal nguyên tố $p_n = A(X + \lambda_n Y)$ của $A$).

31. Chứng minh rằng nếu $A$ là một vành bán địa phương, thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức $A[[X]]$ cũng là một vành bán địa phương (xét căn Jacobson của vành này).