Exercice 13, § 2

Soient $K$ un corps, $A = K[[X]]$ l’anneau des séries formelles, $\mathfrak{m}$ son idéal maximal, de sorte que $A$ est séparé et complet pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique (no 6, cor. de la prop. 6). Sur le groupe additif $A$, on considère la filtration $(E_n)$ telle que $E_0 = A$ et $E_n$ est l’intersection de $\mathfrak{m}^n$ et de l’anneau $K[X]$; cette filtration est exhaustive et séparée, la topologie $\mathscr{G}$ qu’elle définit sur $A$ est compatible avec la structure de groupe additif de $A$ et est plus fine que la topologie $\mathfrak{m}$-adique, mais $A$ n’est pas un groupe complet pour la topologie $\mathscr{G}$ (considérer la suite des polynômes $(1 - X^n)/(1 - X)$).