Bài tập 15, § 2

a) Cho $E$ là một A-môđun có tôpô tuyến tính (exerc. 14). Để một cơ sở lọc $\mathscr{B}$ trên $E$ tạo bởi các đa tạp tuyến tính afin có một điểm dính, điều kiện cần và đủ là tồn tại một cơ sở lọc hội tụ $\mathscr{B}' \supset \mathscr{B}$ tạo bởi các đa tạp tuyến tính afin. Người ta nói rằng $E$ là compact tuyến tính nếu nó là tách và nếu mọi cơ sở lọc trên $E$ tạo bởi các đa tạp tuyến tính afin đều có ít nhất một điểm dính. Mọi môđun Artin đều compact tuyến tính đối với tôpô rời rạc. Mọi môđun con compact tuyến tính của một môđun có tôpô tuyến tính tách $F$ đều đóng trong $F$.

BÀI TẬP

b) Nếu E là một A-môđun compact tuyến tính, u là một ánh xạ A-tuyến tính liên tục từ E vào một A-môđun F có tôpô tuyến tính tách, thì u(E) là một môđun con compact tuyến tính của F.

c) Cho E là một A-môđun có tôpô tuyến tính tách, F là một môđun con đóng của E. Để E compact tuyến tính, điều kiện cần và đủ là F và E/F cũng như vậy.

d) Mọi tích của các môđun compact tuyến tính đều là compact tuyến tính (xét một cơ sở lọc cực đại trong số các cơ sở lọc tạo bởi các đa tạp tuyến tính afin).

e) Cho (E_α, f_{αβ}) là một hệ xạ ảnh của các môđun có tôpô tuyến tính đối với một tập hợp lọc các chỉ số; giả sử rằng các f_{αβ} là các ánh xạ A-tuyến tính liên tục, và rằng đối với α ≤ β, f_{αβ}^{-1}(0) là một môđun con compact tuyến tính của E_β. Cho E = lim E_α, và cho f_α là ánh xạ chính tắc E → E_α; bây giờ chứng minh rằng với mọi α, ta có

(đặc biệt nếu các f_{αβ} là toàn ánh, điều tương tự cũng đúng đối với các f_α), và f_α^{-1}(0) là compact tuyến tính (dùng d), và Top.gén., Chương I, 3rd ed., phụ lục, No. 2, Định lý 1).