Exercice 15, § 2

a) Soit $E$ un $A$-module linéairement topologisé (exerc. 14). Pour qu’une base de filtre $\mathscr{B}$ sur $E$ formée de variétés linéaires affines admette un point adhérent, il faut et il suffit qu’il existe une base de filtre convergente $\mathscr{B}' \supset \mathscr{B}$ formée de variétés linéaires affines. On dit que $E$ est linéairement compact s’il est séparé et si toute base de filtre sur $E$ formée de variétés linéaires affines admet au moins un point adhérent. Tout module artinien est linéairement compact pour la topologie discrète. Tout sous-module linéairement compact d’un module linéairement topologisé séparé $F$ est fermé dans $F$.

EXERCICES

b) Si E est un A-module linéairement compact, u une application linéaire continue de E dans un A-module linéairement topologisé séparé F, u(E) est un sous-module linéairement compact de F.

c) Soient E un A-module linéairement topologisé séparé, F un sous-module fermé de E. Pour que E soit linéairement compact, il faut et il suffit que F et E/F le soient.

d) Tout produit de modules linéairement compacts est linéairement compact (considérer une base de filtre maximale parmi les bases de filtre formées de variétés linéaires affines).

e) Soit (E_α, f_{αβ}) un système projectif de modules linéairement topologisés relatif à un ensemble d'indices filtrant ; on suppose que les f_{αβ} soient des applications linéaires continues, et que pour α ≤ β, f_{αβ}^{-1}(0) soit un sous-module linéairement compact de E_β. Soit E = lim E_α, et soit f_α l'application canonique E → E_α ; montrer que pour tout α, on a

(en particulier si les f_{αβ} sont surjectifs, il en est de même des f_α), et f_α^{-1}(0) est linéairement compact (utiliser d), et Top.gén., chap. I, 3e éd., Appendice, n° 2, th. 1).