Bài tập 19, § 2

a) Cho $E$ là một $A$-môđun tuyến tính compact. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ của $E$ vào một $A$-môđun $F$ tách biệt có tôpô tuyến tính, $u$ là một cấu xạ ngặt (Top. gén., chap. III, 2e éd., § 2, no 8) của $E$ vào $F$.

β) Với mọi môđun con đóng $F$ của $E$, tôpô thương trên $E/F$ là một tôpô cực tiểu (Bài tập 17).

γ) $E$ là đầy đủ và có một hệ cơ bản $(U_\lambda)$ các lân cận mở của 0 trong $E$, tạo thành bởi các môđun con, sao cho các $E/U_\lambda$ là các môđun Artin.

(Để thấy rằng γ) suy ra β), rút gọn về trường hợp $F = 0$, và sử dụng các Bài tập 17 và 18.)

Khi $E$ thỏa mãn các điều kiện tương đương α), β), và γ), ta nói rằng $E$ là tuyến tính compact ngặt.

b) Cho $E$ là một $A$-môđun tách biệt có tôpô tuyến tính, $F$ là một môđun con đóng của $E$. Để $E$ là tuyến tính compact ngặt, điều kiện cần và đủ là $F$ và $E/F$ cũng như vậy.

c) Mọi giới hạn xạ ảnh của các môđun tuyến tính compact ngặt đều là tuyến tính compact ngặt.

d) Cho $E$ là một $A$-môđun tách biệt có tôpô tuyến tính, $u$ là một ánh xạ tuyến tính của $E$ vào một $A$-môđun $F$ tuyến tính compact ngặt. Bây giờ chứng minh rằng nếu đồ thị của $u$ là đóng trong $E \times F$, thì $u$ là liên tục (sử dụng Bài tập 16 c), và sự kiện rằng nếu $M$ là đóng trong $E$ và $E/M$ Artin, thì $M$ là mở trong $E$.