Exercice 19, § 2

a) Soit $E$ un $A$-module linéairement compact. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) Pour toute application linéaire continue $u$ de $E$ dans un $A$-module linéairement topologisé séparé $F$, $u$ est un morphisme strict (Top. gén., chap. III, 2e éd., § 2, no 8) de $E$ dans $F$.

β) Pour tout sous-module fermé $F$ de $E$, la topologie quotient sur $E/F$ est une topologie minimale (exerc. 17).

γ) $E$ est complet et il y a un système fondamental $(U_\lambda)$ de voisinages ouverts de 0 dans $E$, formé de sous-modules, et tel que les $E/U_\lambda$ soient des modules artiniens.

(Pour voir que γ) entraîne β), se ramener au cas où $F = 0$, et utiliser les exerc. 17 et 18.)

Lorsque $E$ vérifie les conditions équivalentes α), β), et γ), on dit que $E$ est strictement linéairement compact.

b) Soient $E$ un $A$-module linéairement topologisé séparé, $F$ un sous-module fermé de $E$. Pour que $E$ soit strictement linéairement compact il faut et il suffit que $F$ et $E/F$ le soient.

c) Toute limite projective de modules strictement linéairement compacts est strictement linéairement compacte.

d) Soient $E$ un $A$-module linéairement topologisé séparé, $u$ une application linéaire de $E$ dans un $A$-module strictement linéairement compact $F$. Montrer que si le graphe de $u$ est fermé dans $E \times F$, $u$ est continue (utiliser l’exerc. 16 c), et le fait que si $M$ est fermé dans $E$ et $E/M$ artinien, $M$ est ouvert dans $E$.