Bài tập 20, § 2

(a) Bây giờ chứng minh rằng một môđun tuyến tính compact rời rạc không thể là một tổng trực tiếp của một vô hạn môđun con không rút gọn về 0.

(b) Cho một ví dụ về một tôpô tuyến tính cực tiểu (bài tập 17) không tuyến tính compact (xét một tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con đơn không đẳng cấu từng đôi một).

(c) Cho $E$ là một môđun tuyến tính compact sao cho tồn tại một họ các môđun con đơn mà tổng của chúng là trù mật trong $E$. Bây giờ chứng minh rằng: 1° $E$ là tuyến tính compact chặt (áp dụng a) cho thương của $E$ bởi một môđun con mở) ; 2° $E$ đẳng cấu với tích (tôpô) của một họ các môđun đơn rời rạc. (Xét các tập hợp $\mathfrak{D}$ gồm các môđun con mở cực đại của $E$ sao cho với mọi dãy hữu hạn $(G_k)_{1 \leq k \leq n}$ gồm $n$ phần tử phân biệt của $\mathfrak{D}$, $E / (\bigcap_{k=1}^n G_k)$ là một tổng trực tiếp của $n$ môđun con đơn. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tập hợp cực đại $\mathfrak{D}$ (đối với quan hệ bao hàm), và rằng giao của tất cả các môđun con $G$ thuộc một tập hợp như vậy là rút gọn về 0 ; ta sẽ sử dụng sự kiện rằng $\{0\}$ là giao của các môđun con mở cực đại, và rằng với mọi môđun con mở cực đại $G$ của $E$, tồn tại ít nhất một môđun con đơn của $E$ không được chứa trong $G$. Kết luận bằng cách sử dụng sự kiện rằng $E$ là tuyến tính compact chặt.)

(d) Suy ra từ c) rằng mọi không gian vectơ tuyến tính compact trên một trường $K$ đều tuyến tính compact chặt và đẳng cấu với một tích $K_s^1$.