Exercice 20, § 2

a) Montrer qu’un module linéairement compact discret ne peut être somme directe d’une infinité de sous-modules non réduits à 0.

b) Donner un exemple de topologie linéaire minimale (exerc. 17) non linéairement compacte (considérer une somme directe infinie de modules simples deux à deux non isomorphes).

c) Soit $E$ un module linéairement compact tel qu’il existe une famille de sous-modules simples dont la somme soit dense dans $E$. Montrer que : 1° $E$ est strictement linéairement compact (appliquer a) au quotient de $E$ par un sous-module ouvert) ; 2° $E$ est isomorphe au produit (topologique) d’une famille de modules simples discrets. (Considérer les ensembles $\mathfrak{D}$ de sous-modules ouverts maximaux de $E$ tels que pour toute suite finie $(G_k)_{1 \leq k \leq n}$ de $n$ éléments distincts de $\mathfrak{D}$, $E / (\bigcap_{k=1}^n G_k)$ soit somme directe de $n$ sous-modules simples. Montrer qu’il existe un ensemble $\mathfrak{D}$ maximal (pour la relation d’inclusion), et que l’intersection de tous les sous-modules $G$ appartenant à un tel ensemble est réduite à 0 ; on utilisera le fait que $\{0\}$ est intersection de sous-modules ouverts maximaux, et que pour tout sous-module ouvert maximal $G$ de $E$, il y a au moins un sous-module simple de $E$ non contenu dans $G$. Conclure en utilisant le fait que $E$ est strictement linéairement compact.)

d) Déduire de c) que tout espace vectoriel linéairement compact sur un corps $K$ est strictement linéairement compact et isomorphe à un produit $K_s^1$.