Bài tập 23, § 2

Cho $A$ là một vành giao hoán được trang bị một tôpô tuyến tính $\mathscr{C}$.

a) Bây giờ chứng minh rằng các iđêan $a$ của $A$, đóng đối với $\mathscr{C}$ và sao cho $A/a$ là Artin, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $0$ đối với một tôpô tuyến tính $\mathscr{C}^{(c)}$ trên $A$, thô hơn $\mathscr{C}$ (sử dụng Alg., chap. VIII, § 2, exerc. 12); ta có $(\mathscr{C}^{(c)})^{(c)} = \mathscr{C}^{(c)}$. Cho $B$ là bao đầy đủ tách của vành $A$ đối với tôpô $\mathscr{C}^{(c)}$; bây giờ chứng minh rằng $B$ là compact tuyến tính nghiêm ngặt; người ta nói rằng $B$ là vành compact tuyến tính nghiêm ngặt liên kết với $A$.

b) Cho $\mathscr{C}_\omega(A)$ là tôpô rời rạc trên $A$, $\mathscr{C}_c(A)$ là tôpô $(\mathscr{C}_\omega(A))^{(c)}$. Để tôpô $\mathscr{C}^{(c)}$ trên $A$ là tách được, điều kiện cần và đủ là $\mathscr{C}$ là tách được và rằng, với mọi iđêan $b$ của $A$, mở đối với $\mathscr{C}$, tôpô $\mathscr{C}_c(A/b)$ là tách được. Nếu $A$ là một vành định giá không rời rạc có hạng 1 (chap. VI), $\mathscr{C}_c(A)$ không tách được.

c) Giả sử rằng $A$ là compact tuyến tính đối với $\mathscr{C}$; khi đó $A$ là đầy đủ (nhưng nói chung không tách được) đối với $\mathscr{C}^{(c)}$. Để $\mathscr{C}^{(c)}$ khi đó là tách được, điều kiện cần và đủ là tồn tại trên $A$ một tôpô tuyến tính, compact tuyến tính nghiêm ngặt, và thô hơn $\mathscr{C}$; khi đó $\mathscr{C}^{(c)}$ là tôpô duy nhất có các tính chất này.

d) Cho $E$ là một $A$-môđun được trang bị tôpô tuyến tính và compact tuyến tính nghiêm ngặt. Bây giờ chứng minh rằng khi $A$ được trang bị tôpô $\mathscr{C}_c(A)$, $E$ là một $A$-môđun tôpô (chú ý rằng nếu $F$ là một $A$-môđun Artin, thì, với mọi $x \in F$, linh hóa tử $a$ của $x$ sao cho $A/a$ là Artin). Suy ra rằng, nếu $B$ là bao hoàn thiện tách được của $A$ đối với tôpô $\mathscr{C}_c(A)$, thì $E$ có thể được xem như một $B$-môđun tôpô; vành $B$ đẳng cấu với một tích các vành địa phương $B_\lambda$ compact tuyến tính nghiêm ngặt (Bài tập 21 d)), bây giờ chứng minh rằng $E$ đẳng cấu với một tích các môđun con compact tuyến tính nghiêm ngặt $E_\lambda$, trong đó $E_\lambda$ bị triệt tiêu bởi các $B_\mu$ có chỉ số $\mu \neq \lambda$ và do đó có thể được xem như một $B_\lambda$-môđun tôpô (nếu $e_\lambda$ là phần tử đơn vị của $B_\lambda$, lấy $E_\lambda = e_\lambda . E$).