Exercice 23, § 2

Soit $A$ un anneau commutatif muni d’une topologie linéaire $\mathscr{C}$.

a) Montrer que les idéaux $a$ de $A$, fermés pour $\mathscr{C}$ et tels que $A/a$ soit artinien, forment un système fondamental de voisinages de $0$ pour une topologie linéaire $\mathscr{C}^{(c)}$ sur $A$, moins fine que $\mathscr{C}$ (utiliser Alg., chap. VIII, § 2, exerc. 12) ; on a $(\mathscr{C}^{(c)})^{(c)} = \mathscr{C}^{(c)}$. Soit $B$ l’anneau séparé complété de $A$ pour la topologie $\mathscr{C}^{(c)}$; montrer que $B$ est strictement linéairement compact ; on dit que $B$ est l’anneau strictement linéairement compact associé à $A$.

b) Soient $\mathscr{C}_\omega(A)$ la topologie discrète sur $A$, $\mathscr{C}_c(A)$ la topologie $(\mathscr{C}_\omega(A))^{(c)}$. Pour que la topologie $\mathscr{C}^{(c)}$ sur $A$ soit séparée, il faut et il suffit que $\mathscr{C}$ soit séparée et que pour tout idéal $b$ de $A$, ouvert pour $\mathscr{C}$, la topologie $\mathscr{C}_c(A/b)$ soit séparée. Si $A$ est un anneau de valuation non discrète de rang 1 (chap. VI), $\mathscr{C}_c(A)$ n’est pas séparée.

c) On suppose $A$ linéairement compact pour $\mathscr{C}$; alors $A$ est complet (mais en général non séparé) pour $\mathscr{C}^{(c)}$. Pour que $\mathscr{C}^{(c)}$ soit alors séparée, il faut et il suffit qu’il existe sur $A$ une topologie linéaire, strictement linéairement compacte, et moins fine que $\mathscr{C}$; $\mathscr{C}^{(c)}$ est alors l’unique topologie ayant ces propriétés.

d) Soit $E$ un $A$-module linéairement topologisé et strictement linéairement compact. Montrer que lorsqu’on munit $A$ de la topologie $\mathscr{C}_c(A)$, $E$ est un $A$-module topologique (remarquer que si $F$ est un $A$-module artinien, alors, pour tout $x \in F$, l’annulateur $a$ de $x$ est tel que $A/a$ soit artinien). En déduire que, si $B$ est le séparé complété de $A$ pour la topologie $\mathscr{C}_c(A)$, $E$ peut être considéré comme un $B$-module topologique ; l’anneau $B$ étant isomorphe à un produit d’anneaux locaux $B_\lambda$ strictement linéairement compacts (exerc. 21 d)), montrer que $E$ est isomorphe à un produit de sous-modules strictement linéairement compacts $E_\lambda$, où $E_\lambda$ est annulé par les $B_\mu$ d’indice $\mu \neq \lambda$ et peut par suite être considéré comme $B_\lambda$-module topologique (si $e_\lambda$ est l’élément unité de $B_\lambda$, prendre $E_\lambda = e_\lambda . E$).