Bài tập 3, Phụ lục 0

Cho $k$ là một trường không hoàn hảo có đặc số $p > 0$ và $R = k[T]_{(T)}$. Cho $a$ là một phần tử của $k$ không phải là một lũy thừa $p$-th. Bây giờ chứng minh rằng vành $A = R[X]/(X^p - aT^p)$ là địa phương, nguyên, và có trường thặng dư $k$. Bây giờ chứng minh rằng vành $B = A[Y]/(Y^p - a)$, là một phép phồng của $A$, không là thu gọn.