Bài tập 12, § 4

Cho A là một miền nguyên, $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của nó. Cho $a_1, ..., a_r$ là các phần tử khác không của $\overline{A}$, b là iđêan phân thức $\sum_{i=1}^r Aa_i$ của A. a) Tồn tại một iđêan phân thức $a$ của A sao cho $aa_i \subset a$ với $1 \leq i \leq r$. Ta cũng có $\tilde{a}a_i \subset \tilde{a}$ với $1 \leq i \leq r$; ta nhắc lại (VII, § 1, No. 1) rằng $\tilde{a}$ là giao của các iđêan phân thức chính chứa $a$. b) Cho $y$ là một phần tử khác không của $\tilde{b}$. Khi đó

c) Ta có $\tilde{b} \subset \overline{A}$. d) Cho $z$ là một phần tử của $\overline{A} : \overline{A}b$. Khi đó $\overline{A}$ chứa $\tilde{b}z$. e) Ta có $b \subset \overline{A} : (\overline{A} : \overline{A}b)$. f) Cho $\mathfrak{P}$ là một iđêan phân chia của $\overline{A}$ và $p = \mathfrak{P} \cap A$. Khi đó $p$ là iđêan phân chia trong A. (Theo e), ta được $\tilde{p} \subset \mathfrak{P}$. Nhưng ta cũng có $\tilde{p} \subset A$.