Exercice 12, § 4

Soient A un anneau intègre, $\overline{A}$ sa clôture intégrale. Soient $a_1, ..., a_r$ des éléments non nuls de $\overline{A}$, b l’idéal fractionnaire $\sum_{i=1}^r Aa_i$ de A. a) Il existe un idéal fractionnaire $a$ de A tel que $aa_i \subset a$ pour $1 \leq i \leq r$. On a aussi $\tilde{a}a_i \subset \tilde{a}$ pour $1 \leq i \leq r$; on rappelle (VII, § 1, n° 1) que $\tilde{a}$ est l’intersection des idéaux principaux fractionnaires contenant $a$. b) Soit $y$ un élément non nul de $\tilde{b}$. Alors

c) On a $\tilde{b} \subset \overline{A}$. d) Soit $z$ un élément de $\overline{A} : \overline{A}b$. Alors $\overline{A}$ contient $\tilde{b}z$. e) On a $b \subset \overline{A} : (\overline{A} : \overline{A}b)$. f) Soient $\mathfrak{P}$ un idéal divisoriel de $\overline{A}$ et $p = \mathfrak{P} \cap A$. Alors $p$ est divisoriel dans A. (Par e), on obtient $\tilde{p} \subset \mathfrak{P}$. Mais on a aussi $\tilde{p} \subset A$.