Bài tập 19, § 4

Cho $A$ là một vành Noether, $a$ là một iđêan khác không của $A$. Giả sử rằng $A$ tách được và đầy đủ đối với tôpô $a$-adic và $A/a$ là một vành Nagata. Chứng minh rằng $A$ là một vành Nagata. Có thể lập luận như sau: a) Giả sử rằng $\overline{A}$ là một miền nguyên và với mọi iđêan nguyên tố khác không $p$ của $A$, vành $A/p$ là Japanese. Cho $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của $A$ trong một mở rộng hữu hạn của trường phân thức của nó. Khi đó, với mọi iđêan nguyên tố khác không $\mathfrak{P}$ của $\overline{A}$, vành $\overline{A}/\mathfrak{P}$ là một đại số hữu hạn trên vành $A/(\mathfrak{P} \cap A)$. (Dùng Bài tập 11, a), p. 80.) b) Với cùng các giả thiết và ký hiệu như trong a), chứng minh rằng $\overline{A}$ là Noether. (Dùng các Bài tập 7, p. 79 và 14, p. 81.) Sau đó, lập luận như trong bài tập trước, chứng minh rằng $\overline{A}/a\overline{A}$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, rằng $\overline{A}$ tách được đối với tôpô $a\overline{A}$-adic, và rằng $\overline{A}$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn.