Exercice 19, § 4

Soient $A$ un anneau noethérien, $a$ un idéal non nul de $A$. On suppose que $A$ est séparé et complet pour la topologie $a$-adique et que $A/a$ est un anneau de Nagata. Prouver que $A$ est un anneau de Nagata. On pourra raisonner comme suit : a) On suppose que $\overline{A}$ est intègre et que pour tout idéal premier non nul $p$ de $A$, l’anneau $A/p$ est japonais. Soit $\overline{A}$ la fermeture intégrale de $A$ dans une extension finie de son corps des fractions. Alors, pour tout idéal premier non nul $\mathfrak{P}$ de $\overline{A}$, l’anneau $\overline{A}/\mathfrak{P}$ est une algèbre finie sur l’anneau $A/(\mathfrak{P} \cap A)$. (Utiliser l’exerc. 11, a), p. 80.) b) Avec les mêmes hypothèses et notations qu’en a), prouver que $\overline{A}$ est noethérien. (Utiliser les exerc. 7, p. 79 et 14, p. 81.) Puis, raisonnant comme dans l’exercice précédent, prouver que $\overline{A}/a\overline{A}$ est un $A$-module de type fini, que $\overline{A}$ est séparé pour la topologie $a\overline{A}$-adique et que $\overline{A}$ est un $A$-module de type fini.